Matematyka.pl

Witam.

Będę bardzo wdzięczny jeśli ktoś mi pomoże rozwiązać następujące zadania:
1. Namiot ma kształt stożka o długości wysokości h równej 2 m i kącie rozwarcia 60 stopni. Ile co najmniej metrów bieżących wykładziny o szerokości 2,5 m należy kupić, aby wyciąć z niej podłogę (bez łączenia) do namiotu? Odopwiedź podaj z dokladnością do setnych części metra.

2. Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu jest wycinkiem koła o kącie środkowym 60 stopni i promieniu 18 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość stożka.

3. Kąt rozwarcia stożka ma miarę 60 stopni. Oblicz miarę środkowego kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) wycinka kołowego, który otrzymamy po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka.

4. W wycinku koła, będącym 1/6 koła, najdłuższa cięciwa ma długość a. Wycinek zwinięto otrzymując powierzchnię boczną stożka. Oblicz objętość stożka.

5. Do kieliszka w kształcie stożka wlanko płyn do 3/4 wysokości kieliszka. Czy płyn zajął więcej niż połowę pojemności kieliszka?

6. Trójkąt ABC, gdzie AC=8, BC=3, kąt ACB=60stopni, obraca się dookoła boku BC. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły.

7. Przekrój osiowy stożka o promieniu r jest trójkątem prostokątnym. Oblicz pole tego przekroju i objętość stożka.

8. Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym. Oblicz objętość stożka, jeżeli jego wysokość jest równa h.

9. Trójkąt równoboczny o boku długości 2pi obraca się wokół osii symetrii. Pole powierzchni całkowtej powstałej bryły jest równe...(?)

10. Trójkąt równramienny prostokątny o przeciwprostokątnej mającej długość \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) obraca się wokół jednej z przyprostokątnych. Objętość powstałego stożka jest równa...(?)

11. Jeśli przekrojem osiowym stożka jest trójkąt prostokątny o długości przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ 4\sqrt{2}}\)

to pole powierzchni bocznej tego stożka jest równe...(?)

12. Kąt ABC rozwarcia stożka ma miarę 60 stopni, a suma długości promienia r podstawy i tworzącej l jest równa 21 cm. Oblicz pole powierzchni bocznej tego stożka (tutaj nie zgadza mi się, że w odpowiedzi jest, że sin=r/l).

13. Puchar w kształcie stożka napełniono "do połowy". Oblicz, jaką część pucharu napełniono.

14. Klepsydra ma kształt dwóch złączonych stozków o wymiarach: średnica: 8 cm, wysokość 11. Piasek przesypuje się z szybkością \(\displaystyle{ 2\frac{cm ^{3}}{min}}\) Czy czas, który odmierza klepsydra jest równy czasowi trwania lekcji w szkole? Do obliczeń przyjmij, że pi=3,14.

15. Koło o promieniu R długości 10 cm podzielono na pięć równych wycinków. Z jednego z nich utworzono powierzchnię boczną stożka. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka i jego objętość.


Z góry dzięki za każdą pomoc. Dodam, że każde zadanie próbowałem robić, ale niestety wyniki nie wychodziły mi zgodne z odpowiedzią. Niestety takich zadań na lekcji nie robiliśmy, ale chciałbym wiedzieć jak je rozwiązać.


Pozdrawiam

Zadanie 1.

Narysuj sobie stożek, a w nim wysokość całej bryły (h) oraz promień podstawy (r). Wraz z tworzącą stożka tworzą one trójkąt prostokątny, o którym wiemy, że przyprostokątna h ma długość \(\displaystyle{ 2}\) metrów, a kąt (\(\displaystyle{ \alpha}\)) pomiędzy nią a przeciwprostokątną ma \(\displaystyle{ 30^o}\) (połowa kąta rozwarcia stożka). Zadanie wymaga ze skorzystania z zależności trygonometrycznych w trójkącie.

\(\displaystyle{ tg\alpha=\frac{r}{h} \\
r=h \cdot tg\alpha \\
r=2 \cdot tg30^o=2 \cdot \frac{ \sqrt{3} }{3}=\frac{2\sqrt{3}}{3} [m]}\)

Teraz znając promień podstawy stożka możemy wyznaczyć, jakiego kawałka wykładziny jest potrzebny. Wiemy, że wykładzina ma szerokość 2,5 metra. \(\displaystyle{ 2,5 > \frac{4\sqrt{3}}{3}}\), więc tutaj nie musimy się o nic martwić. Pozostaje wyliczenie długości (x) potrzebnego kawałka. Nic prostszego, gdyż musi być ona równa średnicy podstawy zadanego stożka.

\(\displaystyle{ x=2r=\frac{4\sqrt{3}}{3} \approx 2,31 [m]}\)

Warto w takich zadaniach zwrócić uwagę na przybliżanie wyniku - należy zaokrąglać w górę - lepiej, aby został mały skrawek materiału, niż gdyby miało zabraknąć kilku milimetrów. W tym wypadku sprawa była prosta, gdyż wynik wyglądał mniej więcej tak: \(\displaystyle{ 2,309401077}\).-- 4 lutego 2010, 07:25 --Nie mogłem już edytować poprzedniego postu -.-

Zadanie 2.

Zadanie nieco bardziej skomplikowane niż poprzednie, ale w zasadzie dość proste.

Zacznijmy od wyznaczenia pola powierzchni bocznej stożka, czyli danego wycinka koła. \(\displaystyle{ \apha}\) to kąt środkowy wycinka, \(\displaystyle{ r_w}\) to długość promienia wycinka.

\(\displaystyle{ S_b=\frac{\alpha}{360^o} \cdot \pi r_w^2 \\
S_b = \frac{60^o}{360^o} \cdot 18^2 \pi \\
S_b = \frac{1}{6} \cdot 324 \pi = 54\pi [cm^2]}\)

Na podstawie tego, co wiemy o rozwiniętym polu bocznym stożka możemy wyznaczyć łatwo tworzącą stożka (l) oraz promień postawy stożka (\(\displaystyle{ r_s}\)).
Długość łuku dla danego wycinka jest równa obwodowi pola podstawy stożka. Stąd możemy wyznaczyć promień pola podstawy.

\(\displaystyle{ \frac{\alpha}{360^o} \cdot 2\pi r_w = 2\pi r_s \\
r_s=\frac{\frac{\alpha}{360^o} \cdot 2\pi r_w}{2\pi} \\
r_s=\frac{\alpha}{360^o} \cdot r_w\\
r_s=\frac{1}{6} \cdot 18 = 3 [cm]}\)

Możemy teraz bez problemu obliczyć pole podstawy stożka.

\(\displaystyle{ S_p=\pi r_s^2 \\
S_p =3^2 \pi = 9 \pi [cm^2]}\)

Pole całkowite stożka jest sumą pola podstawy i pola bocznego.

\(\displaystyle{ S_c=S_b+S_p \\
S_c = 54 \pi +9\pi = 63 \pi [cm^2]}\)

Teraz przejdźmy do wyznaczenia objętości stożka. Długość tworzącej stożka (l) jest równa promieniowi (\(\displaystyle{ r_w}\)) zadanego wycinka koła.

\(\displaystyle{ l=r_w}\)

Wiedząc to i znając promień podstawy stożka możemy wyznaczyć wysokość (h) całej bryły korzystając z twierdzenia Pitagorasa.

\(\displaystyle{ l^2=r_s^2+h^2 \\
h^2=l^2-r_s^2 \\
h=\sqrt{l^2-r_s^2} \\
h=\sqrt{18^2-3^2} =\sqrt{324-9}=3\sqrt{35} [cm]}\)

Mając wysokość (h} i promień podstawy (r) stożka możemy wyliczyć objętość bryły.

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\pi r_s^2h \\
V=\frac{1}{3} \cdot 9 \pi \cdot 3\sqrt{35} =27\sqrt{35}\pi [cm^3]}\)

Mam nadzieję, że się nigdzie nie pomyliłem. W każdym razie metoda liczenia jest poprawna.

Nie mam siły na dalsze zadania, ale mam nadzieję, że Ci nieco pomogłem.

Jeszcze jakbyś ktoś mógł to mam problem z zadaniem 14, 6 i 5

Pozdrawiam