zmienna losowa x posiada gęstość prawdopodobieństwa

[gigi2b]

zmienna losowa x posiada gęstość prawdopodobieństwa
\(\displaystyle{ f(x)=\left\{\begin{array}{l} 0 \ {dla}\ x<0\\2x^2 \ {dla}\ x\in<0,2>\\0 \ {dla}\ x>2 \end{array}}\)
Oblicz wartość oczekiwaną, wariancję i odchylenie standardowe \(\displaystyle{ P(0,3<x<1,1)}\)
Podać wzór, wykreślić dystrybuantę zmiennej losowej X

[sers]

To może od końca:
aby otrzymac dystrybuante trzeba przecałkować gęstość po całym erze (liczby rzeczywiste), ale widzimy, ze gestosc jest zdefiniowana i niezerowa tylko na odcinku <0,2>, wiec wystarczy policzyc calke oznaczona od 0 do 2.
W wykresleniu dystrybuanty moze ci pomoc fakt, ze jest to funkcja niemalejaca, w minus nieskonczonosci przyjmuje wartosc 0 (albo dazy do niej), a w plus nieskonczonosci przyjmuje (dazy do) 1.
W twoim wypadku widac ze dla t<0 bedzie to 0, a dla t>2 1. Pomiedzy bedzie funkcja ktora wyjdzie z calkowania.


Co do wartosci czekiwanej, wariancji i odchylenia, sprawa takze ogranicza sie do calkowania:
wartosc oczekiwana: \(\displaystyle{ EX= \int_{0,3}^{1,1}xf(x) \mbox{d}x}\)
wariancja:\(\displaystyle{ VarX=\int_{0,3}^{1,1}x^{2}f(x) \mbox{d}x-(\int_{0,3}^{1,1}xf(x) \mbox{d}x)^{2}=EX^{2}-(EX)^{2}}\)
odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji