Matematyka.pl

Witam mam problem z całką ograniczoną w obszarze ograniczona linniami,których rownanie :\(\displaystyle{ \iint_{D} xy \mbox{d}x \mbox{d}y}\)
\(\displaystyle{ x \ge 0; y=x^2; y=-x^2+4}\)

A z czym masz problem?

nie umiem jej obliczyc

To co trzeba zrobić to:
1. naszkicować obszar całkowania
2. wyznaczyć granice
3. obliczyć całkę
Z którym punktem masz problem?

Żeby tak to ująć delikatnie z każdym

Obszar będzie pomiędzy dwiema parabolami (jedynie po prawej stronie osi OY, czyli dla \(\displaystyle{ x \ge 0}\)). Zauważasz, że od góry jest ograniczony parabolą: \(\displaystyle{ y=-x^2+4}\), zaś od dołu \(\displaystyle{ y=x^2}\).

Wyznaczasz punkty przecięcia (żeby wyznaczyć drugi przedział całkowania):

\(\displaystyle{ -x^2 + 4 = x^2}\)

\(\displaystyle{ x = \pm \sqrt{2}}\)

Interesuje nas jedynie \(\displaystyle{ x \ge 0}\), więc dochodzimy do wniosku:

\(\displaystyle{ \iint_{D} xy \mbox{d}x \mbox{d}y = \int_{0}^{ \sqrt{2} } \left[ \int_{x^2}^{-x^2+4} xy \mbox{d}y \right] \mbox{d}x}\)

I dalej liczysz całkę.