Matematyka.pl

Witam!
Czy ktoś mógłby uzasadnić konieczność założenia o całkowalności w twierdzeniu Fubiniego?

Dziękuję z góry

możemy rozważać sobie np. taką przestrzeń produktową \(\displaystyle{ \mathbb{N}^2}\) z miarą liczącą.
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ f:\mathbb{N}^2 \rightarrow \mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{ f(n,n)=1}\)
\(\displaystyle{ f(n,n+1)=-1}\)
\(\displaystyle{ f(n,m)=0}\) dla pozostałych argumentów

wtedy jedna całka iterowana wyjdzie \(\displaystyle{ 1}\) a druga \(\displaystyle{ 0}\), kłopot właśnie w tym, że ta funkcja nie jest całkowalna

A czy całkowalność nie mówi czasem, że całka istnieje ??
A twierdzenie nam ma ułatwiać liczenie takiej całaki.
Więc pytanie po co mamy liczyć całkę jak ona nie istnieje ??

przemk20 pisze:A czy całkowalność nie mówi czasem, że całka istnieje ??
A twierdzenie nam ma ułatwiać liczenie takiej całaki.
Więc pytanie po co mamy liczyć całkę jak ona nie istnieje ??

całkowalność w sensie Lebesgue'a to coś innego niż przy całce Riemanna, dlatego to założenie może wydawać się dziwne

Ja nie widze aż takiej różnicy, mamy tylko nieskończoność w zbiorze wartości.

Różnica jest taka, że przy całce Riemanna mówimy, że funkcja jest niecałkowalna jeśli jest zbyt zawiła (bardzo nieciągła, albo coś takiego), a przy całce Lebesgue'a niecałkowalność oznacza, że całka z wartości bezwględnej funkcji jest nieskończona. Istotne jest to, że całka z każdej funkcji (mierzalnej) istnieje, a nie tak jak przy Riemannie.

Nie zgodzę się z tobą. Funkcja mierzalna jest całkowalna, gdy \(\displaystyle{ \int f^+ i \int f^-}\) nie są jednocześnie nieskończonością. I całka może przyjmowac wartośc nieskończoną.

przemk20 pisze:Nie zgodzę się z tobą. Funkcja mierzalna jest całkowalna, gdy \(\displaystyle{ \int f^+ i \int f^-}\) nie są jednocześnie nieskończonością. I całka może przyjmowac wartośc nieskończoną.

równoważnie \(\displaystyle{ \int |f| d\mu < \infty}\) więc nie wiem z czym się tu można nie zgadzać

To nie jest równoważnośc, bo np. każda funkcja mierzalna dodatnia jest całkowalna w szczególności
\(\displaystyle{ f \equiv 1, \ X = \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ \ \int_{\mathbb{R}} 1 d \mu = \infty}\)
A poza tym:

Zordon pisze: Istotne jest to, że całka z każdej funkcji (mierzalnej) istnieje, a nie tak jak przy Riemannie.

A istnieje całka z funkcji:
\(\displaystyle{ f= \begin{cases} 1: \ x \geq 0 \\ -1: x < 0 \end{cases}}\)
??

Oczywiście przesadziłem powyżej, nie dla każdej funkcji mierzalnej całka jest dobrze określona, jednak dla nieujemnych jak najbardziej.
A teraz definicja całkowalności:
Funkcja mierzalna \(\displaystyle{ f}\) jest całkowalna wtw \(\displaystyle{ \int_X |f|d\mu< \infty}\)
równoważnie \(\displaystyle{ \int_X f^+d\mu< \infty}\) oraz \(\displaystyle{ \int_X f^-d\mu< \infty}\)

Czy zgadzasz się z taką definicją?

Jeśli dopiszesz, że jest całkowalna w sensie właściwym to się zgodzę. A normalnie to dopuszczalna jest wartośc \(\displaystyle{ \pm \infty.}\)

Nie spotkałem się szczerze mówiąc, po przeczytaniu Twojego posta przejrzałem nawet artykuły na wikipedii i definicje całkowalności z książek, które posiadam i tam też nie ma takiego rozróżnienia.

To sobie trochę sam dodałem. Ale ogólnie całkowalnośc nie wyklucza wartości nieskończonej.
I właśnie o takie założenie chodzi w tw. Fubiniego, przynajmniej tak mnie uczyli . Pozdrawiam

No tak, tu się zgadzam, najczęściej się podaje dwie wersje tego twierdzenia: w jednej zakładamy, że funkcja jest tylko nieujemna, a w drugiej że całkowalna. Można z tego wywnioskować, że wystarczy żeby jedna z całek \(\displaystyle{ \int f^+d\mu}\), \(\displaystyle{ \int f^-d\mu}\) była skończona i twierdzenie też zachodzi.

Zordon pisze:No tak, tu się zgadzam, najczęściej się podaje dwie wersje tego twierdzenia: w jednej zakładamy, że funkcja jest tylko nieujemna, a w drugiej że całkowalna. Można z tego wywnioskować, że wystarczy żeby jedna z całek \(\displaystyle{ \int f^+d\mu}\), \(\displaystyle{ \int f^-d\mu}\) była skończona i twierdzenie też zachodzi.

np. ja znam tę pierwszą wersję jako twierdzenie Tonellego :p tak że jak widać szkoły są różne...