Matematyka.pl

Witam, nie radzę sobie z następującymi zadaniami :

1) sprawdź, że jeżeli \(\displaystyle{ \nu << \mu << \lambda}\) oraz \(\displaystyle{ f}\) jest gęstością
miary \(\displaystyle{ \nu}\) względem \(\displaystyle{ \mu}\) , a \(\displaystyle{ g}\) jest gęstością \(\displaystyle{ \mu}\)
względem \(\displaystyle{ \lambda}\), to iloczyn \(\displaystyle{ f*g}\) jest gęstością \(\displaystyle{ \nu}\)
względem \(\displaystyle{ \lambda}\)
Wydaje się być banalne, ale nie jestem pewien czy nie ma w tym zadaniu jakiegoś haczyka.

2) niech \(\displaystyle{ f _{n}}\) będzie ciągiem nierosnącym funkcji nieujemnych.
Czy zawsze : \(\displaystyle{ \lim_{ n } \int_{}^{} f _{n} d\mu = \int_{}^{} \lim_{ n } f _{n} d\mu}\) ?
( zapewne nie, bo nie ma tutaj założenia o tym, że fn jest zbieżny, wtedy byłyby spełnione założenia tw. Lebesgue'a, więc pewnie trzeba podać jakiś kontrprzykład , nie wiem jaki )

3) Korzystając z tw. Fubiniego oblicz całkę z funkcji :
\(\displaystyle{ f(x,y)= \frac{x}{2 \sqrt{y}-y }1 _{A} (x,y)}\),
\(\displaystyle{ 1 _{A}}\)i funkcja charakterystyczna zbioru A,
A- obszar płaszczyzny ograniczony krzywymi \(\displaystyle{ y=x^2}\) ,\(\displaystyle{ y=2x}\) ,\(\displaystyle{ x=0}\)

4) Niech \(\displaystyle{ F \subset \Sigma}\) będzie sigma-ciałem. Dla \(\displaystyle{ A \in\Sigma}\) określamy:
\(\displaystyle{ \mu ^{*}(A)=inf(\mu(E):A \subset E\in F)}\).
\(\displaystyle{ \mu}\)-miara.
Sprawdź czy \(\displaystyle{ \mu ^{*}}\) jest miarą zewnętrzną. Jeśli tak, to jakie są zbiory mierzalne w sensie Caratheodory'ego dla tej miary zewnętrznej ?

Będę wdzięczny za pomoc. Pozdr.

1) jaki masz pomysł do tego zadania? to rzeczywiście jest bardzo proste jeśli wcześniej były udowodnione pewne fakty
2) Przykład jest np. taki \(\displaystyle{ f_n=chi_{[n,+infty)}}\), (\(\displaystyle{ \chi}\) to funkcja charakterystyczna) niewątpliwie jest to ciąg malejący, jednak tamta równość nie zachodzi, bo granicą tego ciągu jest \(\displaystyle{ f=0}\).
3) Standardowo jak na analizie

4. Zbiory mierzalne to:
\(\displaystyle{ A \cup N, \ A \in F, \ \ N \subset B \ \wedge \mu (B) = 0}\)
Tutaj pewnie chodzi o uzupełnienie sigma ciała dla danej miary.