Matematyka.pl

jak pokazać izomorficzność grup addytywnej i multiplikatywnej ciał Q(sqrt(5)) oraz Q(sqrt(3))?

jeżeli chodzi o izomorficzność między grupami addytywnymi i multiplikatywnymi, to np. funkcja logarytmiczna jest izomorfizmem (czyli homomorfizmem, który jest różnowartościowy i "na"), który przekształca grupę (R+,*) w grupę (R,+),bo
log(a*b)=log(a)+log(b)
ale logarytm dla liczb ujemnych jest nieokreślony.

mam więc podejrzenia, że grupa (Q(sqrt(5)),*) nie jest izomorficzna z grupą (Q(sqrt(5)),+), ponieważ nie znajdziemy izomorfizmu jednej grupy w drugą. Jak to pokazać w tej chwili nie mam pojęcia..

chodzi mi o pokazanie, że grupa addytywna jednego ciała i drugiego ciała są izomorficzne oraz, że ich grupy multiplikatywne są izomorficzne. przypomnę tylko, ze przez Q(sqrt(3)) oznaczamy najmniejsze istnijace ciało zawierające liczbę sqrt(3).
chodzi zatem o znalezienie 2 bijekcji i z tym właśnie mam problem.

Tak na oko to chyba grupa addytywna to nie jest zaden problem, odwzorowanie f: a+b*sqrt(5) ---> a+b*sqrt(3) spelnia warunki na oko:
niech x=a+bsqrt(5) y=c+dsqrt(5)
f(x+y)=f(a+bsqrt(5)+c+dsqrt(5))=f((a+c)+(b+d)sqrt(5))=(a+c)+(b+d)sqrt(3)=f(x)+f(y) (nie chcialo mi sie rozpisywac)
f(0+0sqrt(5))=0=0+0sqrt(3)
Wzajemna jednoznacznosc jest raczej ok

Grupy multiplikatywnej jeszcze nie bralem pod uwage szczerze mowiac bo mi sie nie chcialo