Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ P_{1}}\) i \(\displaystyle{ P_{2}}\) beda prawdopodobienstwami okreslonymi na tej samej rodzinie S podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \Omega}\).
Wykazac, ze odwzorowanie P okreslone na S i dane wzorem :


\(\displaystyle{ P(A) = \frac{3}{4}P_{1}(A) + \frac{1}{4}P_{2}(A)}\)

spelniaja aksjomatz prawdopodobienstwa.


Prosze o pomoc , co ? jak ? gdzie ?

Należy sprawdzić warunki z aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa:

\(\displaystyle{ 1) \ P(A) q 0}\)
\(\displaystyle{ 2) \ P(\Omega) = 1}\)
\(\displaystyle{ 3) \ P(A_1 \cup A_2 \cup ....) =P(A_1)+P(A_2)+...}\), gdzie \(\displaystyle{ A_i}\) - zdarzenia rozłączne

Ad 1
\(\displaystyle{ P_1}\) i \(\displaystyle{ P_2}\) są prawdopodobieństwami, czyli \(\displaystyle{ P_1(A) q 0, \ P_2(A) q 0}\), z tego \(\displaystyle{ P(A) q 0}\)

Ad 2
\(\displaystyle{ P(\Omega)=\frac{3}{4} P_1(\Omega)+\frac{1}{4}P_2(\Omega)=1}\)

Ad 3
\(\displaystyle{ P(A_1 \cup A_2 \cup ....)=\frac{3}{4}P_1(A_1 \cup A_2 \cup ....)+ \frac{1}{4}P_2(A_1 \cup A_2 \cup ....) = \frac{3}{4}(P_1(A_1)+P_1(A_2)+....)+ \frac{1}{4}(P_2(A_1)+P_2(A_2)+....) =}\) \(\displaystyle{ =\frac{3}{4}P_1(A_1)+ \frac{1}{4}P_2(A_1)+ \frac{3}{4}P_1(A_2)+ \frac{1}{4}P_2(A_2)+....=P(A_1)+P(A_2)+...}\)

Dzieki za pomoc, pozdrawiam.