Matematyka.pl

1 NWD dwóch liczb naturalnych wynosi 6 a ich NWW to 210
2 Wykaż, że jeżeli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych , to liczba 5n również ma tę własność.
3 Wykaż, ze jeżeli x+y+z=0 to xy+yz+zx≤0.
Muszę zrobić trzy ww. zadania jednak w pierwszym przypadku zapomniałem jaki jest sposób na rozwiązanie tego problemu, w drugim natomiast zapisałem liczbę n jako sumę x� oraz y�. Po pomnożeniu przez 5 mam 5x�+5y�, teraz powinienem zapisać tę sumę jako sumę kwadratów dwóch liczb całkowitych uzywając wzorów skr. mnozenia. I nie wiem jak to wykonać. W trzecim zadaniu podniosłem równanie do kwadratu i nie wiem co z tym fantem zrobić.
Mimo, że zadania nie są specjalnie trudne prosze was o pomoc w ich rozwiązaniu.

ad1
\(\displaystyle{ x=6p, y=6q}\), p, q wzglednie pierwsze , tj \(\displaystyle{ NWW(x,y)=6pq}\),\(\displaystyle{ pq=35,}\) tj. \(\displaystyle{ p=5, q=7}\), x=30, y=42 ...lub \(\displaystyle{ p=1, q=35}\), x=6, y=210
ad2
\(\displaystyle{ n=x^2+y^2}\), tj. \(\displaystyle{ 5n=(2x-y)^2+(x+2y)^2}\)
ad3)
\(\displaystyle{ (x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2 + 2(xy+xz+yz)}\)

Dzięki za pomoc, trzecie w końcu sam rozwiązałem. Tylko mam pewną niejasność jeżeli chodzi o zadanie pierwsze. Z tego co pamiętam z lekcji to był inny sposób na jego rozwiązanie. Rozkładało sie podane liczby na czynniki i potem... la la la skleroza. Muszę pogrzebać. W rozwiązaniu muszę zastosować sposób na rozkładanie, nie mogę zastosować tego z liczbami względnie pierwszymi.

EDIT: dobra, znalazłem w pierwszym zeszycie jaki wziąłem ze sterty. Rozwiązanie pokrywa się z Twoim. Jeszcze raz dzieki. Aha, u Ciebie w poście powinno być zamiast 6pq to 36pq bo inaczej nie wyszłoby nam 35.