Wyznacz takie liczby naturalne, że
: 25 sie 2006, o 22:08
\(\displaystyle{ x^y-y^x=x-y}\)
Wszystkie pary liczb postaci: (x,1) , (1,y), (x,x) spełniają to równanie.
Poza tym równanie spełnione jest przez parę (3,2).
Niech więc x i y będą liczbami większymi bądź równymi 3, a wtedy możemy skorzystać z lematu:
Jeżeli \(\displaystyle{ x>y \geq e}\) to \(\displaystyle{ y^x>x^y}\).
Lewa strona równania jest więc ujemna, za to prawa dodatnia, czyli otrzymujemy sprzeczność.
Dlatego dla x i y większych bądź równych 3 równanie nie ma rozwiązań.