Matematyka.pl

Mam do obliczenia pochodną z funkcji
\(\displaystyle{ f(x)=2^{ \sqrt{x} }}\)

W odpowiedziach mam, że pochodna wynosi \(\displaystyle{ f\prime (x)=ln2}\)

Tymczasem nie mogę zrozumieć dlaczego. Próbowałem to obliczyć ze wzoru \(\displaystyle{ a^{x}=a^{x}lna}\)
w efekcie moje obliczenia wyglądają tak:
\(\displaystyle{ f\prime (x)=2^{ \sqrt{x} }ln2}\)

Czy zastosowałem zły wzór? Próbowałem też zapisać funkcje jako \(\displaystyle{ f(x)=e ^{ \sqrt{x}ln2 }}\) i z tego liczyć pochodną ale nie wychodzi na końcu ln2 tak jak mam w odpowiedziach.

W odpowiedziach jest błąd. Twój sposób z e jest jak najbardziej poprawny i trzeba tak zrobić, a że nie wychodzi jak w odpowiedziach to trudno. Poza tym całka z ln2 to xln2, a jak widać nie jest to Twoja pierwotna funkcja.

Licząc z tym e mam takie oto obliczenia:

\(\displaystyle{ f\prime (x) = 2 ^{ \sqrt{x} } ( \sqrt{x} ln2)\prime = 2 ^{ \sqrt{x} } [ \frac{1}{2 \sqrt{x} } ln2 + \sqrt{x} \frac{1}{2} ] = 2 ^{ \sqrt{x} } ( \frac{ln2}{2 \sqrt{x} } + \frac{ \sqrt{x} }{2} )}\)

Chyba poprawnie?

Za dużo kombinujesz w nawiasie Zauważ że ln2 to stała.

W sumie to się skróci i dostaniemy taki wynik jak w odpowiedziach^^

\(\displaystyle{ f\prime (x) = 2 ^{ \sqrt{x} } ( \sqrt{x} ln2)\prime = 2 ^{ \sqrt{x} } ln2 \frac{1}{2 \sqrt{x} } = \frac{2 ^{ \sqrt{x} }}{2 \sqrt{x} } ln2}\)

mam dalej w zadaniu obliczyć pochodną w punkcie x=4
więc jeśli postawie 4 za x to mi się skróci wyrażenie przed ln2. Ale czy zawsze się ono skraca czy tylko dla x=4?
\(\displaystyle{ f\prime(4) = \frac{2 ^{ \sqrt{4} }}{2 \sqrt{4} } ln2 = \frac{2 ^{ 2 }}{4} ln2 = ln2}\)

Próbowałem sobie np. wstawić x=3 i zobaczyć czy mi się skróci \(\displaystyle{ \frac{2 ^{ \sqrt{x} }}{2 \sqrt{x} }}\) ale nie umiem obliczyć tego
\(\displaystyle{ \frac{2 ^{ \sqrt{3} }}{2 \sqrt{3} }}\)

Ja już ślepy jestem To komentarz do "W sumie to się skróci i dostaniemy taki wynik jak w odpowiedziach"

Dla 4 się skróci.
Ono się skróci tylko dla x=4 i x =1