(Trudne) równanie logarytmiczne

[Lbubsazob]

Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ x-\log5=x\log5+2\log2-\log(1+2 ^{x})}\)
Jakieś pomysły?

[Althorion]

Służę:
\(\displaystyle{ x-log5=xlog5+2log2-log(1+2 ^{x}) \\
x = \log (5^x) + \log (4) - \log (1+2^x) + \log (5) \\
\log ( 10^x ) = \log (20 \cdot 5^x (1 + 2^x)) \\
2^x \cdot 5^x = 2^2 \cdot 5 + 5^x + 2^2 \cdot 5 \cdot 2^x + 2^x \cdot 5^x \\
2^2 \cdot 5 + 5^x + 2^2 \cdot 5 \cdot 2^x = 0}\)

[Lbubsazob]

A jak do tego dojść?

\(\displaystyle{ \log ( 10^x ) = \log (20 \cdot 5^x (1 + 2^x)) \\}\)

[Althorion]

Ech, "mały" błąd mi się wdał (pomyliłem plus z minusem). Ale powinnaś sama zaraz umieć poprawić:
\(\displaystyle{ \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (bc) \\
\log_a (b) - \log_a (c) = \log \left( \frac{b}{c} \right)}\)

[Lbubsazob]

\(\displaystyle{ x = \log \left( 5^x \right) + \log \left( 4 \right) - \log \left( 1+2^x \right) + \log \left( 5 \right)}\)

Próbuję to teraz rozpisać i wychodzi mi:
\(\displaystyle{ x=\log \left[ \left( 5 ^{x} \right) \cdot 4 \cdot 5: \left( 1+2 ^{x} \right) \right] \\
x=\log \left( \frac{20 \left( 5 ^{x} \right) }{ \left( 1+2 ^{x} \right) } \right)}\)

Nie wiem, co z tym dalej zrobić, wiem tylko, że \(\displaystyle{ 10 ^{x}=\frac{20 \left( 5 ^{x} \right) }{ \left( 1+2 ^{x} \right) }}\)

[k2mil]

nie jest takie trudne

\(\displaystyle{ 10^x + 20^x = 5^x * 20}\)

\(\displaystyle{ 2^x * 5^x + 5^x * 4^x = 5^x * 20}\)

z własności różnowartościowośc koleżanka ma
\(\displaystyle{ 2^x + 4^x = 20}\)

\(\displaystyle{ 2^x + 2^x * 2^x - 20 = 0}\)

\(\displaystyle{ t = 2^x}\) oraz \(\displaystyle{ t>0}\)

czyli
\(\displaystyle{ t + t^2 - 20 = 0}\)

dalej chyba sobie poradzisz