Matematyka.pl

mam do obliczenia 2 granice i nie wiem jak sobie z nimi poradzic

1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin 11x}{\sin 21x}}\)

2. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

3. \(\displaystyle{ \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\ctg x}{x-\frac{\pi}{2}}}\)

prosze o pomoc
o ile sie nie myle to trzeba rozpisac sinusa

O ile się nie mylę to w perwszym przypadku będzie 0,5

Gugas pisze:mam do obliczenia 2 granice i nie wiem jak sobie z nimi poradzic

1. \(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin 11x}{\sin 21x}}\)

Zwyczajny delopital:
\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{\sin 11x}{\sin 21x} = \lim_{x\to0}\frac{11xcos11x}{21xcos21x} = \frac{11}{21}}\)

Stosujesz wzór:
granica z (sin x)/ x = 1, dla x->0

no i wlasnie nie wiem czy to wystarczy tak rozpisac jak zrobil to Drizzt czy trzeba zastosowac wzor sinx/x=1
chcac zastosowac ten wzor praktycznie stoje w miejscu bo na dole tez jest sinx :/
i co tu robic??
ktora wersja jest dobra??

Co tu myśleć, ja bym zrobił tak jak Drizzt, x-y sie skracają, cosinusy dążą do 1, zostaje ułamek. Chyba że de l'Hospitala nie można używać ( treści zadań bywają wredne )

Ale po co uzywac reguly de l'Hospitala, ktorej dowod angazuje m.in. twierdzenie o wartosci sredniej, skoro mozna wyznaczyc te granice zupelnie elementarnie?

Jedni lubią wozy, które mało palą, drudzy te które są bezpieczne. Kwestia upodobań jak dla mnie. Personalnie bardzo lubię tę regułę

Ale, mieszacie.

Oczywiście pierwsze i drugie idzie de l'Hospitalem. Jest tylko tak, że najładniej byłoby to rozwiązać bez stosowania jakichś tam reguł.

Ad.1

Skorzystanie z tego, że \(\displaystyle{ \lim_{x\to 0}(\frac{\sin{x}}{x})=1}\)

Ad.2

Patrz to co wyżej, tyle, że się troche bawisz w przekształcenia:

\(\displaystyle{ \large \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{\cos{x}}{x-\frac{\pi}{2}})=\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(\frac{-\sin{(x-\frac{\pi}{2})}}{x-\frac{\pi}{2}})}\)

\(\displaystyle{ \lim_{x 0}{\frac{\sin{ax}}{\sin{bx}}}=\lim_{x 0}{\frac{\sin{ax}}{\sin{bx}} \frac{ax}{ax} \frac{bx}{bx}}=\lim_ {x 0} { \frac{\sin{ax}}{{ax}} \frac{{bx}}{\sin{bx}} \frac{a}{b} }=\frac{a}{b}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x 0}{\frac{\tan{x}}{x}}=1}\)