Rownanie rozniczkowe drugiego rzedu - do sprawdzenia
: 1 lut 2010, o 09:09
Witam,
prosilbym o sprawdzenie. Dziekuje z gory.
\(\displaystyle{ y'' - y' + \frac{1}{4}y = e^x}\)
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow P( \lambda ) = \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4}}\)
Miejsca zerowe
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow y _{h} = C _{1} e^x + C _{2} xe^x}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ y _{s} = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y _{s}' = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y _{s}'' = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow Ae^x - Ae^x + \frac{1}{4}(Ae^x) = e^x}\)
\(\displaystyle{ A = 4}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow y _{s} = 4e^x}\)
\(\displaystyle{ 3)}\)
\(\displaystyle{ y = y _{h}+y _{s}}\)
\(\displaystyle{ y = C _{1} e^x + C _{2} xe^x + 4Ae^x}\)
Pozdrawiam
Tomek
prosilbym o sprawdzenie. Dziekuje z gory.
\(\displaystyle{ y'' - y' + \frac{1}{4}y = e^x}\)
\(\displaystyle{ 1)}\)
\(\displaystyle{ y'' - y' + \frac{1}{4}y = 0}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow P( \lambda ) = \lambda^2 - \lambda + \frac{1}{4}}\)
Miejsca zerowe
\(\displaystyle{ \Delta = 0}\)
\(\displaystyle{ \lambda _{1,2} = \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow y _{h} = C _{1} e^x + C _{2} xe^x}\)
\(\displaystyle{ 2)}\)
\(\displaystyle{ y _{s} = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y _{s}' = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ y _{s}'' = Ae^x}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow Ae^x - Ae^x + \frac{1}{4}(Ae^x) = e^x}\)
\(\displaystyle{ A = 4}\)
\(\displaystyle{ \Rightarrow y _{s} = 4e^x}\)
\(\displaystyle{ 3)}\)
\(\displaystyle{ y = y _{h}+y _{s}}\)
\(\displaystyle{ y = C _{1} e^x + C _{2} xe^x + 4Ae^x}\)
Pozdrawiam
Tomek