[Liga 2006] Zadania (IX.06, X.06)

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

[Liga 2006] Zadania (IX.06, X.06)

Post autor: Arek » 21 sie 2006, o 09:48

LIGA FORUM MATEMATYKA.PL - WRZESIEŃ
ZADANIE 1 Załóżmy, że funkcja f(x) jest określona na przedziale [a,b] prostej rzeczywistej i jest na tym przedziale całkowalna (w sensie właściwym) wg definicji Riemanna. Niech: \(\displaystyle{ g_{n}(x) = \. f(a + x\cdot\delta_{n}\)}\), \(\displaystyle{ \delta_{n} = \frac{b-a}{n}}\) Wyznacz granice: 1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\, (1+\,g_{n}(1)\, \,\delta_{n})(1+\,g_{n}(2)\, \,\delta_{n})(1+\,g_{n}(3)\, \,\delta_{n})\,\cdots\,(1+\,g_{n}(n)\, \,\delta_{n})}\) 2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \, \frac {(n^2+1)(n^2+2)(n^2+3)\,\cdots\,(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)(n^2-3)\,\cdots\,(n^2-n)}}\) ZADANIE 2 Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych (a,b,c) spełniające tożsamość: \(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\,=\,2}\) ZADANIE 3 Na płaszczyźnie leżą ustalone punkty A, B. Niech C leży na symetralnej odcinka AB. Definiujemy następujący ciąg \(\displaystyle{ \{C_{n}\}}\): \(\displaystyle{ C_1 = C}\) Dalej: Jeżeli \(\displaystyle{ C_{n}}\) leży na odcinku AB, wówczas \(\displaystyle{ C_{n+1}}\) nie jest zdefiniowany i ciąg się kończy. Jeżeli \(\displaystyle{ C_{n}}\) nie leży na odcinku AB, wówczas \(\displaystyle{ C_{n+1}}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ AC_nB}\). Znajdż wszystkie punkty C takie, by ciąg \(\displaystyle{ \{C_{n}\}}\) był od pewnego miejsca okresowy. ZADANIE 4 Znajdź największą i najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ w(w + x)(w + y)(w + z)}\) dla liczb rzeczywistych w, x, y, z takich, że: \(\displaystyle{ w + x + y + z = 0}\) i \(\displaystyle{ w^7 + x^7 + y^7 + z^7 = 0}\) ZADANIE 5 Określ, w zależności od parametru a liczbę rozwiązań równania: \(\displaystyle{ |x^2 - ax + a| \, = \, a-3}\) ZADANIE 6 Wykaż, że dla: \(\displaystyle{ \alpha ft(0,\frac{\pi}{2}\right)}\) zachodzi nierówność: \(\displaystyle{ \log_{\sin\alpha} ft(\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) \, + \,\log_{\cos\alpha} ft(\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) \, q \, 2}\) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- Oto i treści zadań na miesiąc wrzesień. Przypominam: 1. Nieprzekraczalny termin przyjmowania rozwiązań to koniec dnia 15 października. 2. Rozwiązania przesyłamy pocztą elektroniczną pod adres: konkurs@matematyka.pl. 3. Pierwszy mail się liczy. 4. Wszelkie pytania, uwagi, komentarze co do zadań zamieszczamy w stosownym temacie. 5. Pracujemy samodzielnie. Jury w składzie (obecnie): Arek, liu: życzy Wam powodzenia!!!
Ostatnio zmieniony 1 sty 1970, o 01:00 przez Arek, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

[Liga 2006] Zadania (IX.06, X.06)

Post autor: Arek » 28 wrz 2006, o 10:25

LIGA FORUM MATEMATYKA.PL - PAŹDZIERNIK
ZADANIE 1 Dany jest na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \Pi}\) niezdegenerowany trójkąt \(\displaystyle{ \Delta_{ABC}}\). Przez punkt P z wnętrza trójkąta prowadzimy proste l, k. m równoległe odpowiednio do boków AB, BC, CA trójkąta. W ten sposób obszar trójkąta zostaje podzielony na trzy mniejsze trójkąty o sumarycznym polu X(P) oraz trzy równoległoboki o sumarycznym polu Y(P) tak, że pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta_{ABC}}\) wynosi X(P) + Y(P). a) Dla punktów \(\displaystyle{ P \in int(\Delta_{ABC})}\) wyznaczyć obraz funkcji: \(\displaystyle{ f: \Pi \rightarrow R_{+}}\), postaci: \(\displaystyle{ f(P) = \frac{X(P)}{Y(P)}}\) b) Dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in R_{+}}\) będącej wartością funkcji f(P) wyznaczyć miejsce geometryczne \(\displaystyle{ f^{-1}(x) \subset \Pi}\). ZADANIE 2 Na płaszczyźnie dany jest okrąg K oraz rozłączna z nim prosta l. P i Q są takimi zmiennymi punktami na prostej l, że okrąg o średnicy |PQ| ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem K (ale nie zawiera okręgu K). Czy istnieje taki ustalony punkt M, że niezależnie od wyboru punktów P, Q, miara kąta PMQ jest stała? ZADANIE 3 Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = x^3 + ax^2 + bx + c}\) są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Znajdź warunek konieczny i wystarczający do tego, by pierwiastki te były równe \(\displaystyle{ \cos A, \, \cos B, \, \cos C}\) dla pewnego trójkąta ABC. ZADANIE 4 Ile jest liczb naturalnych, mniejszych od \(\displaystyle{ 10^n}\), dla których cyfry zapisu dziesiętnego tworzą ciąg niemalejący, a więc ile (dla danego n naturalnego) jest takich naturalnych m, że: \(\displaystyle{ 10^n > m = \bigsum_{i=0}^{s} c_{i} 10^{i} = \overline{(c_{s}c_{s-1}\, ... \, c_{1}c_{0})_{10}}}\) oraz \(\displaystyle{ c_{s} q c_{s-1} q \, ... \, q c_{1} q c_{0}}\) ZADANIE 5 Funkcję \(\displaystyle{ f:R R}\) nazywamy mikrookresową jeżeli wśród jej okresów dodatnich nie ma elementu najmniejszego. Pokazać, że każda funkcja \(\displaystyle{ f:R R}\), której okresami są \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), jest mikrookresowa. ZADANIE 6 Znajdź wszystkie wielomiany p(x) stopnia 5 takie, że zachodzą podzielności: \(\displaystyle{ {}_{(x-1)^3} |{}^ {p(x) + 1}\, \, {}_{(x+1)^3} |{}^ {p(x) - 1}}\) ------------------ Życzymy powodzenia! Termin nadsyłania rozwiązań (adres: konkurs@matematyka.pl): 15 listopada 2006r.

ODPOWIEDZ