[Liga 2006] Zadania (IX.06, X.06)

[Arek]

LIGA FORUM MATEMATYKA.PL - WRZESIEŃ

ZADANIE 1

Załóżmy, że funkcja f(x) jest określona na przedziale [a,b] prostej rzeczywistej i jest na tym przedziale całkowalna (w sensie właściwym) wg definicji Riemanna.

Niech:

\(\displaystyle{ g_{n}(x) = \dot{f}(a + x\cdot\delta_{n})}\), \(\displaystyle{ \delta_{n} = \frac{b-a}{n}}\)

Wyznacz granice:

1) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}\, (1+\,g_{n}(1)\, \,\delta_{n})(1+\,g_{n}(2)\, \,\delta_{n})(1+\,g_{n}(3)\, \,\delta_{n})\,\cdots\,(1+\,g_{n}(n)\, \,\delta_{n})}\)

2) \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \, \frac {(n^2+1)(n^2+2)(n^2+3)\,\cdots\,(n^2+n)}{(n^2-1)(n^2-2)(n^2-3)\,\cdots\,(n^2-n)}}\)


ZADANIE 2

Znajdź wszystkie trójki liczb całkowitych \(\displaystyle{ (a,b,c)}\) spełniające tożsamość:

\(\displaystyle{ \left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\,=\,2}\)


ZADANIE 3

Na płaszczyźnie leżą ustalone punkty \(\displaystyle{ A, B}\). Niech \(\displaystyle{ C}\) leży na symetralnej odcinka \(\displaystyle{ AB}\). Definiujemy następujący ciąg \(\displaystyle{ \{C_{n}\}}\):

\(\displaystyle{ C_1 = C}\)

Dalej:

Jeżeli \(\displaystyle{ C_{n}}\) leży na odcinku AB, wówczas \(\displaystyle{ C_{n+1}}\) nie jest zdefiniowany i ciąg się kończy.

Jeżeli \(\displaystyle{ C_{n}}\) nie leży na odcinku AB, wówczas \(\displaystyle{ C_{n+1}}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ AC_nB}\).

Znajdż wszystkie punkty C takie, by ciąg \(\displaystyle{ \{C_{n}\}}\) był od pewnego miejsca okresowy.


ZADANIE 4

Znajdź największą i najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ w(w + x)(w + y)(w + z)}\) dla liczb rzeczywistych w, x, y, z takich, że:

\(\displaystyle{ w + x + y + z = 0}\)

i

\(\displaystyle{ w^7 + x^7 + y^7 + z^7 = 0}\)


ZADANIE 5

Określ, w zależności od parametru a liczbę rozwiązań równania:

\(\displaystyle{ |x^2 - ax + a| \, = \, a-3}\)


ZADANIE 6

Wykaż, że dla:

\(\displaystyle{ \alpha \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)}\)

zachodzi nierówność:

\(\displaystyle{ \log_{\sin\alpha} \left(\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) \, + \,\log_{\cos\alpha} \left(\frac{\sin2\alpha}{\sin\alpha + \cos\alpha}\right) \, \geq \, 2}\)


----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Oto i treści zadań na miesiąc wrzesień. Przypominam:

1. Nieprzekraczalny termin przyjmowania rozwiązań to koniec dnia 15 października.

2. Rozwiązania przesyłamy pocztą elektroniczną pod adres: konkurs@matematyka.pl.

3. Pierwszy mail się liczy.

4. Wszelkie pytania, uwagi, komentarze co do zadań zamieszczamy w stosownym temacie.

5. Pracujemy samodzielnie.

Jury w składzie (obecnie): Arek, liu: życzy Wam powodzenia!!!

[Arek]

LIGA FORUM MATEMATYKA.PL - PAŹDZIERNIK

ZADANIE 1

Dany jest na płaszczyźnie \(\displaystyle{ \Pi}\) niezdegenerowany trójkąt \(\displaystyle{ \Delta_{ABC}}\). Przez punkt P z wnętrza trójkąta prowadzimy proste l, k. m równoległe odpowiednio do boków AB, BC, CA trójkąta. W ten sposób obszar trójkąta zostaje podzielony na trzy mniejsze trójkąty o sumarycznym polu X(P) oraz trzy równoległoboki o sumarycznym polu Y(P) tak, że pole trójkąta \(\displaystyle{ \Delta_{ABC}}\) wynosi X(P) + Y(P).

a) Dla punktów \(\displaystyle{ P \in int(\Delta_{ABC})}\) wyznaczyć obraz funkcji:

\(\displaystyle{ f: \Pi \rightarrow R_{+}}\),

postaci:

\(\displaystyle{ f(P) = \frac{X(P)}{Y(P)}}\)

b) Dla każdej liczby \(\displaystyle{ x \in R_{+}}\) będącej wartością funkcji f(P) wyznaczyć miejsce geometryczne \(\displaystyle{ f^{-1}(x) \subset \Pi}\).

ZADANIE 2

Na płaszczyźnie dany jest okrąg K oraz rozłączna z nim prosta l. P i Q są takimi zmiennymi punktami na prostej l, że okrąg o średnicy |PQ| ma dokładnie jeden punkt wspólny z okręgiem K (ale nie zawiera okręgu K). Czy istnieje taki ustalony punkt M, że niezależnie od wyboru punktów P, Q, miara kąta PMQ jest stała?

ZADANIE 3

Pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ w(x) = x^3 + ax^2 + bx + c}\) są dodatnimi liczbami rzeczywistymi. Znajdź warunek konieczny i wystarczający do tego, by pierwiastki te były równe \(\displaystyle{ \cos A, \, \cos B, \, \cos C}\) dla pewnego trójkąta ABC.

ZADANIE 4

Ile jest liczb naturalnych, mniejszych od \(\displaystyle{ 10^n}\), dla których cyfry zapisu dziesiętnego tworzą ciąg niemalejący, a więc ile (dla danego n naturalnego) jest takich naturalnych m, że:

\(\displaystyle{ 10^n > m = \sum_{i=0}^{s} c_{i} 10^{i} = \overline{(c_{s}c_{s-1}\, ... \, c_{1}c_{0})_{10}}}\)

oraz

\(\displaystyle{ c_{s} q c_{s-1} q \, ... \, q c_{1} q c_{0}}\)

ZADANIE 5

Funkcję \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) nazywamy mikrookresową jeżeli wśród jej okresów dodatnich nie ma elementu najmniejszego. Pokazać, że każda funkcja \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\), której okresami są \(\displaystyle{ \sqrt{3}}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), jest mikrookresowa.

ZADANIE 6

Znajdź wszystkie wielomiany \(\displaystyle{ p(x)}\) stopnia \(\displaystyle{ 5}\) takie, że zachodzą podzielności:

\(\displaystyle{ (x-1)^3\mid (p(x) + 1)\, \, (x+1)^3\mid (p(x) - 1)}\)

------------------

Życzymy powodzenia!

Termin nadsyłania rozwiązań (adres: konkurs@matematyka.pl): 15 listopada 2006r.