Rozwiąż układ równań logarytmicznych

[Gość]

Układ wygląda następująco:

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}\log x-\log y=7\\\log x+\log y=5\end{array}\right.}\)

Czy mogę od razu dodać kolumnami i napisać:

\(\displaystyle{ 2\log x=12\, \Longrightarrow\, \log x^2=12}\)

No ale jak 12 zamienić na postać logarytmiczną?
Proszę pomożcie!

[gnicz]

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}\log x-\log y=7\\\log x+\log y=5\end{array}\right.}\)

Dodajemy stronami i otrzymujemy:

\(\displaystyle{ 2\log x = 12}\)

\(\displaystyle{ \log x = 6}\)

Z definicji logarytmu mamy:

\(\displaystyle{ x = 10^6}\)

Pozostaje:

\(\displaystyle{ \log x - \log y = 7}\)

\(\displaystyle{ 6 - \log y = 7}\)

\(\displaystyle{ \log y = -1}\)

Z definicji:

\(\displaystyle{ y = 10^{-1}}\)

Pozdrawiam, GNicz ?

[Zlodiej]

Można też tak:

Jeśli poodejmujemy te logarytmy i pododajemy w swoich równościach, otrzymamy układ równań:

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}\frac{x}{y}=10^7\\ xy=10^5\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x=10^7y\\ xy=10^5\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x=10^7y\\ y^2=10^{-2}\end{array}\right.}\)

\(\displaystyle{ \left{\begin{array}{l}x=10^6\\ y=10^{-1}\end{array}\right.}\)