Matematyka.pl

Płaszczyznę pokryto kołami w ten sposób, że środek każdego z tych kół nie należy do żadnego innego koła. Dowieść, że każdy punkt płaszczyzny nalezy do co najwyżej pięciu kół.

Proste. Załóżmy przeciwnie, że istnieje punkt A należący do co najmniej 6 kół. Przeprowadźmy przez niego trzy proste jedną prostą poziomą, jedną pod kątem 60 st, i jedna pod kątem 120 st. Podzielą one płaszczyznę na 6 równych części (przyjmijmy, że każda wychodząca z A półprosta należy do obu sąsiadujących z nią części płaszczyzny). Łatwo pokazać, że środki O i P kół zawierających punkt A muszą należeć do różnych części płaszczyzny - w przeciwnym razie jeśli |OA| >= |PA| to koło o środku O zawiera punkt P. Teraz wystarczy, że obrócimy nasz podział płaszczyzny wokół punktu A tak, żeby środek jednego z kół zawierających punkt A leżał na jednej z półprostych wychodzących z punktu A. Teraz ten właśnie środek "blokuje" obie sąsiadujące z nim części płaszczyzny, a w pozostałych 4 częściach mogą się znaleźć środki co najwyżej 4 innych kół.