Matematyka.pl

W rozwartokątnym trójkącie równoramiennym ABC (|AC|=|BC|) odległość środka koła wpisanego w trójkąt od wierzcołka A jest równa d, a kąt C jest równy 2β. Oblicz pole trójkąca ABC i promień koła opisanego na tym trójkącie.

Proszę o wskazówki.

Skorzystaj z tw. cosinusów i sinusów z wykorzystaniem d, czyli dla trójkąta AOB i ABC gdzie O to środek okręgu wpisanego w trójkąt.

Z kolei aby obliczyć długość promienia okręgu opisanego,skorzystaj ze wzoru na pole trójkąta:\(\displaystyle{ S=\frac{abc}{4R}}\),gdzie R jest promieniem okręgu opisanego na tym trójkącie,a że trójkąt ma być równoramienny,to np.a=b,więc \(\displaystyle{ S=\frac{a^2c}{4R}}\),a boki to już łatwo wyliczyć,poe masz policzone najpierw,więc tylko podstawić i zrobione.

Jeszcze szybciej by było z tw. sinusów, bo przecież:

\(\displaystyle{ \frac{a}{sin\alpha}=2R}\)

Warto też zwrócić uwagę na kąty. Masz dany kąt przy wierzchołku C więc skoro to trójkąt równoramienny to kąty przy wierzchołku A oraz B będą miały jednakowe miary np. \(\displaystyle{ \gamma}\) więc na tej podstawie \(\displaystyle{ 2\beta+2\gamma=180}\) Weź też pod uwagę fakt, iż promień r okręgu wpisanego w trójkąt leży w przecięciu się dwusiecznych kątów trójkąta.

Dzięki. Szczególnie uwaga Lady Tilly pomogła mi rozwiązać to zadanie

Hmmm też próbuję rozwiązać owe zdanie, jednak nadal nie wiem jak je rozwiązać , mógłby ktoś mnie jakoś jeszcze raz nakierować , dać wskazówki co po kolei liczyć? ;/

wojtek6214 pisze:Hmmm też próbuję rozwiązać owe zdanie, jednak nadal nie wiem jak je rozwiązać , mógłby ktoś mnie jakoś jeszcze raz nakierować , dać wskazówki co po kolei liczyć? ;/

Tr. ABC jest równoramienny (AC=BC=a), woęc wysokość opuszczona z C jest dwusieczną kąta C. Środek okręgu wpisanego w trójkąy leży w przecięcou dwusiecznych kątów wewn. trójkąta.
Z tr. prost. CLO \(\displaystyle{ \frac{r}{d}=sin\beta r=d sin\beta.}\)
Z tr. prost. AKC \(\displaystyle{ \frac{d+r}{a}=\frac{d(1+sin\beta)}{a}=cos\beta a=\frac{d(1+sin\beta)}{cos\beta}.}\)
\(\displaystyle{ P=\frac{1}{2}sin2\beta a ^{2} =\frac{1}{2}sin2\beta \frac{d ^{2} (1+sin\beta) ^{2} }{cos ^{2} \beta}=tg\beta {d ^{2} (1+sin\beta) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2R=\frac{a}{sin\alpha}=\frac{\frac{d(1+sin\beta)}{cos\beta}}{cos\beta}=\frac{d(1+sin\beta)}{cos ^{2}\beta} R=\frac{d(1+sin\beta)}{2cos ^{2}\beta}}\)

thx pomyliłeś się , bo d to odległość od wierzchołka A , a Ty narysowałeś , ze od wierzchołka C, więc Ci źle wyszło.
W polu zamiast tangensa powinien być cotangens , ale sobie już poradzę

Dzięki