Matematyka.pl

Damy jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)=x^{3}+4x+p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Znajdź \(\displaystyle{ p}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek całkowity.

Proszę o pomoc.

Jeżeli dany wielomian W(x) ma pierwiastek całkowity, to współczynnik p jest podzielny przez ten pierwiastek.
Musi więc zachodzić jedno z równań:
\(\displaystyle{ W(p)=0 W(-p)=0 W(1)=0 W(-1)=0}\)
Wynika to z faktu, że p jest liczbą pierwszą, więc możemy ją jedynie przedstawić w postaci \(\displaystyle{ p=p 1= (-1) (-p)}\).
Łatwo obliczamy, że pierwsze trzy równania są sprzeczne. A dla W(-1)=0 mamy:
\(\displaystyle{ (-1)^3+4\cdot (-1)+p=0}\)
\(\displaystyle{ -1-4+p=0}\)
\(\displaystyle{ p=5}\)

Racja! Dzięki!