Matematyka.pl

bardzo prosze o pomoc, jak rozwiazac rownanko

\(\displaystyle{ xy'-4y-x ^{2} \sqrt{y} =0}\)

Szczegółowy sposób rozwiązywania takich zadań znajdziesz pod tym adresem: https://matematyka.pl/91755.htm

nemezis100807, trochę stary ten post ale może się komuś przyda

\(\displaystyle{ xy'-4y-x ^{2} \sqrt{y} =0}\)

\(\displaystyle{ y'- \frac{4}{x} y=x \sqrt{y}}\)

Jest to równanie Bernoulliego

Trzeba zastosować podstawienie

\(\displaystyle{ z= \sqrt{y}}\)

Pomnóżmy równanie przez \(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{y} }}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2 \sqrt{y} }y'- \frac{2}{x} \sqrt{y} = \frac{1}{2} x}\)

Wstawiam nową zmienną

\(\displaystyle{ z'- \frac{2}{x}z = \frac{1}{2} x}\)

Teraz można użyć uzmienniania stałej albo pomnożyć przez czynnik całkujący

\(\displaystyle{ z=c \left(x \right)e^{- \int{- \frac{2}{x} \mbox{d}x } } \\
z=c \left(x \right)x^2}\)

\(\displaystyle{ c' \left(x \right)x^2+2xc \left(x \right)- \frac{2}{x}c \left(x \right)x^2= \frac{1}{2}x\\
c' \left(x \right)x^2= \frac{1}{2}x\\
c' \left(x \right) = \frac{1}{2x}}\)

\(\displaystyle{ c \left(x \right)= \frac{1}{2}\ln{x}+C}\)

\(\displaystyle{ z= \frac{1}{2}x^2\ln{x}+Cx^2}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{y}=\frac{1}{2}x^2\ln{x}+Cx^2\\
y= \frac{1}{4}x^4\ln^{2}{x}+Cx^4\ln{x}+C^2x^4}\)