Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{}^{} cos^{2}x \cdot sin^{3}x dx

\int_{}^{} x \cdot e ^{2x} dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{lnx}{x( ln^{2}x + 2lnx + 1 } \cdot dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{cosxdx}{ sin^{2}x - 2sinx}}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{2 e^{x}dx }{ \sqrt{3-2e ^{x} - e ^{2x} } }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{-sinx(cosx+3)}{ \sqrt{cos ^{2}x- 2cosx } } \cdot dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{x-1}{ x^{2} +x+1 } \cdot dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{cosx}{sin ^{2}x - 9 } \cdot dx}\)
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\-sincosx}{ cos^{2}x+4cosx + 6 }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{ e^{x}dx }{ \sqrt{e ^{3}x-6 e^{x} +6 } }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{xdx}{ \sqrt{6+4x-x ^{2} } }}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt[x]{2+ 2lnx- ln^{2}x } }}\)


proszę o pomoc bo nie mam zielonego pojęcia jak to się rozwiązuje.

\(\displaystyle{ \int \frac{2e^x}{\sqrt{3-2e^{x}-e^{2x}}}dx = \left|\begin{array}{c}e^x = t\\e^xdx=dt\end{array}\right| = 2\int \frac{dt}{\sqrt{3-2t-t^{2}}} = \int \frac{2dt}{\sqrt{-(t^{2}+1) +4}} = \left|\begin{array}{c}\frac{2}{t+1} = u\\\frac{-2}{(t+1)^{2}}dt = du\end{array}\right| = -2\int \frac{du}{u\sqrt{u^2-1}} = \left|\begin{array}{c}u^2 - 1 = z^2\\udu=zdz\end{array}\right| = -2\int \frac{dz}{z^2+1} = arctgz + c = arctg\left(\sqrt{\frac{3-e^{2x}+2e^{x}}{e^{2x}+2e^{x}+1}}\right) + c}\)

Pozdrawiam

1. \(\displaystyle{ \cos^2x\sin^3x=cos^2(1-cos^2x)\sinx}\)
Podstawiasz \(\displaystyle{ t=\sinx}\)

2. Przez części
3. Podstaw \(\displaystyle{ t=ln x}\)dostaniesz \(\displaystyle{ \int\frac{tdt}{t^2+2t+1}}\) a tą całkę już funkcji wymiernych
4. Podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx}\) i dalej z całki funkcji wymiernej