Matematyka.pl

Które z podanych podzbiorów w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\) są podrozmaitościami gładkimi, a które nie:
a) \(\displaystyle{ M=\{(x^1,..,x^n):|x^n|=\sum_{i=1}^{n-1}(x^i)^2\}}\)
b) \(\displaystyle{ M=\{(x^1,..,x^n):\sum_{i=1}^{n}(x^i)^2=1\}}\)
c) \(\displaystyle{ M=\{(x^1,..,x^n):\sum_{i=1}^{n-1}(x^i)^2=1\}}\)
d) \(\displaystyle{ M=\{(x^1,..,x^n):x^n=\sqrt{\sum_{i=1}^{n-1}(x^i)^2}\}}\)
Dla n=3, w tych przypadkach, kiedy M jest rozmaitością gładką napisz lokalne parametryzacje oraz opisz przestrzenie styczne do M. Znajdź postać tensora metrycznego w parametryzacjach.

ad.a. jest to podwójna paraboloida o wspólnym wierzchołku;
ad.b. to jest sfera;
ad.c. a to jest walec (a dokładniej produkt kartezjański sfery i prostej);
ad.d. to jest stożek;

Widać więc, że podrozmaitościami gładkimi będą zbiory z b i c (w a mamy sklejenie w 0, a w d osobliwość w wierzchołku).
Parametryzacja zaś, przestrzenie styczne, metryka itp. jak dla klasycznej sfery...

Dzieki
A moglbys podac szkic dowodu (że są lub nie są podrozmaitosciami) c i d, najlepiej dla \(\displaystyle{ \mathbb{R}^n}\)

ad.C
Skoro wiesz, że \(\displaystyle{ \{(x_1,\ldots,x_n) \, :\, {\sum\limits_{i=1}^n} {x_i}^2 \, = \, 1\}}\), czyli sfera jednostkowa, jest podrozmaitością gładką \(\displaystyle{ {\mathbb R}^n}\),
to również podrozmaitością gładką jest

\(\displaystyle{ \{(x_1,\ldots,x_n) \, :\, {\sum\limits_{i=1}^{n-1}} {x_i}^2 \, = \, 1\} \ = \ \{(x_1,\ldots,x_{n-1}) \, :\, {\sum\limits_{i=1}^{n-1}} {x_i}^2 \, = \, 1\}\, \, {\mathbb R}}\)

...

ad.D
W tym przypadku zauważ, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \psi \, : \, M \, \to \, {\mathbb R}^{n-1}}\) dane wzorem:
\(\displaystyle{ \psi\big((x_1,\ldots,x_n)\big) \ = \ (x_1,\ldots,x_{n-1})}\) jest różnowartościowe (na M oczywiście), co więcej definiuje atlas \(\displaystyle{ M}\) jako podrozmaitości \(\displaystyle{ {\mathbb R}^n}\). Funkcja \(\displaystyle{ \phi\big((x_1,\ldots,x_n)\big) \ = \ x_n}\) na \(\displaystyle{ {\mathbb R}^n}\) jest gładka.

Zatem jeśli M byłaby podrozmaitością gładką, to złożenie odwzorowań

\(\displaystyle{ \phi \, \circ\, \psi^{-1}\, \big((x_1,\ldots,x_{n-1})\big) \ = \ \sqrt{{\sum\limits_{i=1}^{n-1}} {x_i}^2\ }}\)

powinno być funkcją gładką (a nie jest, nie istnieje bowiem pochodna w żadnym kierunku w początku układu współrzędnych!)