Matematyka.pl

Uprzejmie proszę o pomoc w obliczeniu poniższej całki:

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{e^{\frac{sinx}{cosx}}} \mbox{d}x}\)

Z góry dziekuję

wyglada jak calka nieelementarna
\(\displaystyle{ \int e^{tgx}dx = xe^{tgx} - \int \frac{xe^{tgx}}{cos^{2}x}dx = ...}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{xe^{tgx}}{cos^{2}x}dx = \left|\begin{array}{c}tgx=t\\x=arctgt\\\frac{dx}{cos^{2}x}=dt\end{array}\right| = \int e^{t}arctgtdt = e^{t}arctgt - \int \frac{e^{t}}{1+t^{2}}dt = e^{t}arctgt - \frac{e^{t}}{1+t^{2}} - \int \frac{2te^{t}}{(1+t^{2})^{2}}dt = ...}\)
\(\displaystyle{ \int \frac{2te^{t}}{(1+t^{2})^{2}}dt = \left|\begin{array}{c}1+t^{2} = u\\t=\sqrt{u-1}\\2tdt=du\end{array}\right| = \int \frac{sinh(\sqrt{u-1}) + cosh(\sqrt{u-1})}{u^{2}}du = \left|\begin{array}{c}u-1 = w^{2}\\du=2wdw\\u=w^{2}-1\end{array}\right| = 2\int \frac{sinh(w^{2})+cosh(w^{2})}{w^{2}-1}wdw}\)
Skąd widać, że całka jest nieelementarna

Mam pytanie czy gdyby przekształcić, tę ostatnią całkę w sposób jak ponieżej, to da się coś jeszcze z nią zrobić?
\(\displaystyle{ 2\int \frac{sinh(w^{2})+cosh(w^{2})}{w^{2}-1}wdw = \left|\begin{array}{c}w^{2} = z\\2wdw=dz\end{array}\right| = \int \frac{dz}{(coshz - sinhz)(z-1)}}\)

Pozdrawiam