Dowód. Położenie okręgu.

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
adm.kowal

Dowód. Położenie okręgu.

Post autor: adm.kowal » 24 sty 2010, o 17:59

Mam takie zadanie do rozwiązania. Udowodnij, że równanie \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} - ax +2by - 0,75a^{2} + 2ab =0}\) opisuje okrąg dla dowolnych, różnych liczb rzeczywistych a i b. Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu. Prawdę mówiąc nie wiem kompletnie cóż tu ma być za teza, założenie... Bardzo proszę o wskazówki.
Trzeba zauważyć, że niewiadome igrekowa i iksowa pojawiają się w dwóch miejscach wyrażenia, co pozornie przeczy postaci równania okręgu. Należy spróbować jednak doprowadzić je do tej postaci I taki myk: Weźmy składniki z niewiadomą \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ y^2+2by}\) Aby igrek pojawił się tylko raz i jeszcze w wyrażeniu podniesionym do kwadratu, należy zastosować wzór skróconego mnożenia z pewnymi dodatkami: \(\displaystyle{ y^2+2by+b^2-b^2}\) I połączyć w całość, co trzeba: \(\displaystyle{ (y+b)^2-b^2}\) Z tym wracamy do wyjściowego wyrażenia \(\displaystyle{ x^2+(y+b)^2-b^2-ax-0,75a^2+2ab=0}\) Podobnie rzecz się ma z iksami: \(\displaystyle{ x^2-ax+(0,5a)^2-(0,5a)^2-0,75a^2+(y+b)^2-b^2+2ab=0}\) \(\displaystyle{ (x-a)^2-0,25a^2-0,75a^2+(y+b)^2-b^2+2ab=0}\) Ostatecznie: \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y+b)^2=a^2-2ab+b^2=(a-b)^2}\)
Pytanie uzupełniające. Co to będzie za okrąg o postaci \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\) ?[/quote]

Crizz
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 4094
Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 805 razy

Dowód. Położenie okręgu.

Post autor: Crizz » 24 sty 2010, o 18:35

Równanie okręgu ma postać \(\displaystyle{ (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2}}\) W powyższym równaniu okręgu, tzn. \(\displaystyle{ (x-a)^2+(y+b)^2=(a-b)^2}\) \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\) to właśnie to "\(\displaystyle{ r^{2}}\)" (czyli okrąg ma promień długości \(\displaystyle{ |a-b|}\)).

ODPOWIEDZ