Matematyka.pl

Witam.
Zawsze miałem problemy z tymi wzorami, ale ostatnio jakoś próbowałem załapać te wzory poprzez inne wzory...
A mianowicie, chodzi mi o to jak z wzorów rozbudowanych przejść na "krótsze"

np.
znalazłem ostatnio wzór:

\(\displaystyle{ x ^{2} +px +q = (x- \frac{p}{2}) ^{2} - \frac{delta}{4}}\)

i z tego wzoru widać jak można "przejść z rozbudowanego działania na prostsze....

I otóż mam kilka pytań, jakie są (o ile na to są wzory) na np coś takiego:

z działania:
\(\displaystyle{ -x ^{2} -16x-5}\) przechodzimy na wzór (x-5)(x-1) i własnie tutaj mam pytanie jak to zrobić? i skąd wiedzieć jakie liczby wpisać, aby otrzymać ten sam wyraz co na początku

mam nadzieję, że objaśniłem to jakoś wmiare prosto

\(\displaystyle{ (x-5)(x-1)=x^2-6x+5}\)
To chyba tak wygląda A ogólnie to nikt mnie nigdy nie uczył żadnej zasady, co do tego o co pytasz, więc myślę, że to się robi metodą "na czuja"

Dajmy na to, że masz równanie kwadratowe typu:
\(\displaystyle{ -2x ^{2} + 8x + 10}\)

Liczysz deltę:
\(\displaystyle{ \Delta = 8^{2} - 4 \cdot 10 \cdot -2 = 144}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 12}\)

\(\displaystyle{ x _{1} = \frac{-8 - 12}{-4} = 5}\)

\(\displaystyle{ x _{2} = \frac{-8 +12}{-4} = -1}\)

I teraz robisz tak:
Otwierasz dwa nawiasy, a w nich:
\(\displaystyle{ \left(x - x _{1}\right) \left(x - x _{2} \right)}\).

A skoro współczynnik przy \(\displaystyle{ x^{2}}\) wyniósł \(\displaystyle{ -2}\), to na samym początku nawiasów stawiasz ten współczynnik (jeśli będzie to jeden, to oczywiście pomijasz).

I w ten sposób z \(\displaystyle{ -2x ^{2} + 8x + 10}\) otrzymujesz postać iloczynową \(\displaystyle{ -2 \left(x+1 \right) \left(x-5 \right)}\). Możesz przemnożyć i zobaczysz, że będzie to samo.

Jest to oczywiście takie łopatologiczne wytłumaczenie z pominięciem wszelkich wzorów i wydaje mi się ono najefektywniejsze, bo mnie też w ten sposób tego uczono.

Pozdrawiam

Dzięki wszystkim za pomoc, dużo mi to pomogło naprawdę

Mam jeszcze jedno pytanie związane z tymi zadaniami.

Jeżeli mam naprzykład trójmian? to wtedy da rade też jakoś to rozbić na nawiasy?
np
\(\displaystyle{ 3x^{3} - 4 x^{2} + 6x +14}\)

Oczywiście przykład zmyśliłem na poczekaniu, więc nie wiem czy będzie poprawny, chodzi mi tylko o założenie.

i jeszcze jedno małe pytanko, a co jeśli delta wyjdzie nam na minusie? Wtedy już chyba nie będzie tak prosto?

Dzięki z góry za pomoc.

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

Co do pytania drugiego, jeżeli \(\displaystyle{ \Delta <0}\) nie da sie rozłożyć na czynniki.