Matematyka.pl

Na szkolnym konkursie dostaliśmy takie zadanie: dana jest funkcja \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\). Punkt A jest środkiem symetrii wykresu tej funkcji. Udowodnić, że punkt A należy do wykresu tej funkcji.
Moje rozwiązanie: Tu padają moje 3 pytania:
1) czy to rozwiązanie jest poprawne?
2) czy rzeczywiście punkt (0,0) należy do wykresu funkcji nieparzystej?
3) czy są inne rozwiązania tego zadania?
Pzdr

f(x)=1/x jest nieparzysta a (0,0) nie należy.

smigol pisze:f(x)=1/x jest nieparzysta a (0,0) nie należy.

Ale ta funkcja jest \(\displaystyle{ f: R - \lbrace0\rbrace \rightarrow R}\).

3) czy są inne rozwiązania tego zadania?

Zadanie to znajduje się w zbiorze "Konkurs matematyczny w szkole średniej" Witolda Bednarka, wyd. Nowik, 2000.
Moje rozwiązanie było takie:Rozwiązanie wzorcowe ze zbioru różni się właściwie od mojego tym, że bierze się ogólnie: jakiś punkt i symetryczny, dalej ze średniej arytmetycznej wychodzi teza.

edit:

Ale ta funkcja jest \(\displaystyle{ f: R - \lbrace0\rbrace \rightarrow R}\).

Rozwijając: można tę funkcję rozszerzyć o punkt (0,0), wtedy będzie R->R i nieparzysta, a punkt symetrii będzie należał do wykresu.

2) czy rzeczywiście punkt (0,0) należy do wykresu funkcji nieparzystej?

Moim zdaniem, jeżeli uważasz to za rzecz nieoczywistą, należałoby ją dowieść w swoim rozwiązaniu.

1) czy to rozwiązanie jest poprawne?

"Ja się nie i tak nie znam", ale poza tymi wątpliwościami co do środka symetrii funkcji nieparzystej to jest chyba ok.

smigol pisze:f(x)=1/x jest nieparzysta a (0,0) nie należy.

A no tak, jeszcze spałem i nie zwróciłem uwagi na R->R, mój błąd.

Jeszcze napisałem jedno rozwiązanie pod tym zadaniem (jako drugi sposób) podczas konkursu: To chyba jest poprawne...?

To chyba jest poprawne...?

Według mnie, jak najbardziej tak.

najprościej będzie tak:
Przesuńmy wykres funkcji o pewien wektor v aby środkiem symetrii był punkt \(\displaystyle{ S=(0,0)}\)
Ponieważ funkcja jest z R do R, to istnieje takie rzeczywiste a, że \(\displaystyle{ f(0)=a,}\) ale z własności punktu S, także \(\displaystyle{ f(0) = -a}\), czyli z definicji funkcji musi zachodzić \(\displaystyle{ a=0}\), co pokazuje, że \(\displaystyle{ f(0)=0}\), i punkt S należy do wykresu funkcji