Matematyka.pl

Jak policzyć taką całkę? Już chyba druga tego typu mi się trafiła i nie mogę sobie dać z nią rady bo wychodzi mi że muszę dzielić przez "0" stosując tw. Newtona-Leibinitza...

\(\displaystyle{ \int_{3a}^{0} \sqrt{\frac{16ax+1}{16ax})}}\)

ew. jak obliczyć długość krzywej \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt{x}}\) na odcinku [0;1] - bo to zadanie jest podobne.

przekształć wyrażenie pod pierwiastkiem do postaci

\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{ax}}\)
następnie podstaw
\(\displaystyle{ 1+\frac{1}{ax}=t\Rightarrow \frac{1}{x}=a(t-1)\\ -\frac{1}{ax^2}dx=dt}\)
dalej już chyba (matura na 100%) widzisz co zrobić

no ok... tylko tak... przedziałów całkowania w takim podstawieniu nie jestem w stanie wyliczyć bo przecież przez 0 nie podzielę
No więc liczę nieoznaczoną i co wychodzi?
\(\displaystyle{ - F(x) = \frac{1}{2} ln \left| \frac{\sqrt{1+\frac{1}{16ax}}-1}{\sqrt{1+\frac{1}{16ax}}+1} \right| +2 \sqrt{1+\frac{1}{16ax}}}\)
I jak niby tutaj skorzystać z tw, że taka całka równa się F(b)-F(a) ?

Policz to jako całkę niewłaściwą.

no i tu właśnie jest pies pogrzebany bo ta całka jest w zestawie zadań przed materiałem z całką niewłaściwą. No i szukam sposobu jak to wyznaczyć bez znajomości całek niewłaściwych... (no chyba że to przeoczenie układającego zadania i bez tego nie da rady )

No raczej bez tego się nie da, bo 0 jest punktem osobliwym tej całki.

hmm.. a jak scałkowałem to po "y" i wyszło mi 2/3 to dobrze czy źle mi wyszło? f:D

Źle, wynik tej całki wychodzi zależny od parametru.

omg przepraszam już od nadmiaru matematyki zadania mi się mieszają...

2/3 mi wyszło w zadaniu takim:
Długość łuku \(\displaystyle{ y = \sqrt{2x}}\) gdzie 0<=x<=1

A w tym u góry oczywiście że od parametru będzie zależał wynik

EDIT:
nawet 14/3 bo zapomniałem powrócic do y po podstawieniu ;D