Matematyka.pl

powstałej przez obrót: \(\displaystyle{ y^2=2px}\)wokół osi OX.

-- 23 sty 2010, o 13:51 --

x jest w przedziale miedzy 0 i a:)-- 23 sty 2010, o 13:59 --to już potrafię zrobić;). łatwe było... coś trudniejszego napotkałem:
również objętość i również obrót wokół prostej OX, dla \(\displaystyle{ 0 \le x \le b \le 2a}\)funkcja ma postać:\(\displaystyle{ (2a-x)y^2=x^3}\)

ZObacz jak to ładnie wygląda np. dla a=1.
... F%282-x%29

Musisz więc obrócić to na przedziale [0;b] gdzie b < 2a (żeby nie dzielić przez 0 przypadkiem )
Wykorzystujesz wzór na obrót wykresu wokół OX i dalej już z górki

\(\displaystyle{ \int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx}\) = ...

I liczysz jak zwykłą całkę wymierną...

czyli jedynie przekształcam równanie do takie postaci? tj wyliczma y^2?i to byl jedyny tu problem..?

żeby obliczyć objętość musisz wykres obrócić wokół osi oX.

Wyobraź sobie teraz że objętość to nieskończona suma takich cieniutkich plasterków tej bryły. każdy plasterek ma powierzchnię równą \(\displaystyle{ \Pi r^2}\) a naszym r jest tutaj y.

W tym zadaniu wykres (nie funkcja bo to funkcją nie jest!) jest symetryczny względem osi OX więc możemy to spierwiastkować i obracać tylko dodatnią część wykresu (tą ponad osią OX) - teraz mamy już funkcję

No więc skoro mamy już \(\displaystyle{ f(x) = \frac{sqrt(x^3)}{sqrt(2a-x)}}\) to wykorzystujemy wzór na objętość bryły obrotowej wokół OX.

i ot cała trudność.

Jeśli mogę cokolwiek doradzić to radzę w tego typu zadaniach starać się gdzieś na brudno naszkicować sobie wykres funkcji. Bardzo to pomaga w wybraniu odpowiedniej całki.

ale trudno naszkicować wykres podobnego typu bez zbadania przebiegu zmienności funkcji..

coder89 pisze:ZObacz jak to ładnie wygląda np. dla a=1.
... F%282-x%29
Wykorzystujesz wzór na obrót wykresu wokół OX
\(\displaystyle{ \int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx}\) = ...

możemy korzystać. ale poprawnie
\(\displaystyle{ \pi \int_{0}^{b} \frac{x^3}{(2a-x)} dx}\)