Matematyka.pl

Dowieść, że nieskończony pierścien przemienny z jedynką albo jest ciałem, albo ma nieskończenie wiele elementów nieodwracalnych.

Chyba coś nie tak z treścią zadania... nie powinno tam być przypadkiem:
... albo ma nieskończenie wiele elementów nieodwracalnych ?

Oczywiście, już poprawiłem.

Err - jestem bardzo poczatkujacy w algebrze abstrakcyjnej wiec niech ktos powie czy dobrze...
W przypadku gdyby by nie istnial element nieodwracalny pierscien ten bylby cialem. Zalozmy wiec, ze taki element istnieje i nazwijmy go \(\displaystyle{ a}\). Niech teraz \(\displaystyle{ b}\) bedzie dowolnym elementem i zalozmy, ze element \(\displaystyle{ a*b}\) jest odwracalny, powiedzmy ze \(\displaystyle{ (a*b)*c=1}\). Ale wtedy, z lacznosci:
\(\displaystyle{ (a*b)*c=a*(b*c)=1}\) co przeczy zalozeniu, ze \(\displaystyle{ a}\) jest nieodwracalne. No i stad juz chyba wniosek jest prosty...

To nie może być poprawne, bo wtedy wszystkie pierścienie przemienne z jedynkami byłyby ciałami, a tak przecież nie jest (vide pierścień \(\displaystyle{ Z_{m}}\)).

Niech teraz b bedzie dowolnym elementem i zalozmy, ze element ab jest odwracalny,

Nie możemy poczynić tego założenia, bo nic nie wiemy o odwracalności ab - a skąd wiemy, że wszystkie elementy postaci ab nie są nieodwracalne (a jeśli np. tworzą ideał)?

neworder pisze:...bo nic nie wiemy o odwracalności ab...

Poza tym nie wiemy, czy wszystkie elementy postaci ab są różne dla różnych b! Jeśli bowiem a jest dzielnikiem zera, to może się okazać, że ab=ac dla różnych b i c.

TomciO: pomysł dobry, ale trzeba go jeszcze dopracować...

To nie może być poprawne, bo wtedy wszystkie pierścienie przemienne z jedynkami byłyby ciałami, a tak przecież nie jest (vide pierścień \(\displaystyle{ Z_{m}}\)).

Nie mam pojecia jak to "wynika" z mojego "dowodu", moglbys wyjasnic ;>?"

Nie możemy poczynić tego założenia, bo nic nie wiemy o odwracalności ab - a skąd wiemy, że wszystkie elementy postaci ab nie są nieodwracalne (a jeśli np. tworzą ideał)?

Ee - to wlasnie staralem sie dowiesc (to zalozenie bylo zalozeniem dla dowodu niewprost, sorry ze slabo to opisalem).

Sir George: racja.