Matematyka.pl

Znajdź stałą C, tak by zachodziła nierówność (*)

\(\displaystyle{ S_n= \sum_{1 \leq j, k \leq n}^{n}\frac{1}{\sqrt{j^{2}+k^{2}}}}\)
(*)\(\displaystyle{ n \leq S_n \leq n \cdot C}\)

Dobrą stałą może być \(\displaystyle{ 2\sqrt{2}}\) (korzystasz z szacowań \(\displaystyle{ j^{2}+k^{2} q 2jk}\) i \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}} < 2\sqrt{n}-2\sqrt{n-1}}\), aczkolwiek głowy za jej minimalność nie dam (to ok. 2,8, więc pewnie da się poprawić).

Edit - numeryczne sprawdzenie (do n=5000) pozwala przypuszczać, że minimalna stała nie przekracza 1,8.

Poprawiłam stałą na \(\displaystyle{ \frac{3 \sqrt{2} }{2 }}\). Najpierw trzeba zauważyć, że \(\displaystyle{ \frac{1} {sqrt {a^2 + b^2} } < \frac{ {\sqrt{2}}}{a + b}}\) (to wynika łatwo z nierówności między średnimi). Można więc ograniczyć naszą sumę przez
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \bigsum_{1 q j,k q n} \frac {1}{j+k}}\), a tę z kolei policzymy w trochę pokręcony sposób. Rozpiszmy sobie ją najpierw w postaci macierzy, o tak (poziomo j, pionowo k, wypisuję same mianowniki):
1 2 3 4 ...
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8

Będziemy teraz sumować po przekątnych tej macierzy, czyli po wyrazach, które mają równą sumę. Zapisać to można tak:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sum_{1 q j,k q n} {1 \over {j+k}} = \sqrt{2} \sum_{1 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} \quad {1 \over {j+k}} =}\)
\(\displaystyle{ = \sqrt{2} \sum_{1 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} \quad {1 \over s}}\).
Rozbijmy teraz tę sumę na dwie, pierwszą będą tworzyć wyrazy z lewej górnej części macierzy, do najdłuższej przekątnej włącznie, a drugą - pozostałe wyrazy. Zauważmy przy okazji, że aż do najdłuższej przekątnej liczba par wyrazów o danej sumie będzie o jeden mniejsza od tej sumy. Mamy więc:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sum_{1 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s}\quad {1 \over s} = \sqrt{2} \sum_{1 q s q n+1} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} \quad {1 \over s} +}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sum_{n+2 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} \quad {1 \over s} = \sqrt{2} \sum_{1 q s q n+1} {{s - 1} \over s} +}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sum_{n+2 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} \quad {1 \over s} = \sqrt{2} (n+1) - H_n+1 + 1 + \sqrt{2} \sum_{n+2 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} \quad {1 \over s}. \quad (*)}\)
gdzie \(\displaystyle{ H_n}\) to n-ta liczba harmoniczna. Zajmijmy się teraz drugą sumą. Tu z kolei liczba par wyrazów o danej sumie s będzie równa (2n - s + 1). Stąd:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sum_{n+2 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} {1 \over s} \quad = \sqrt{2} \sum_{n+2 q s q 2n} {{2n - s + 1} \over s} \quad =}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2} \sum_{0 q s q n-2} {{n-1-s} \over {n+2+s}} = \sqrt{2} \sum_{0 q s q n-2} (1 - {{2s+3} \over {n+2+s}}) q \sqrt{2} (n - 1) - \sqrt{2} \sum_{0 q s q n-2} {{2s+3} \over {2n+2}} =\sqrt{2}(n - 1) - {\sqrt{2} \over {2n + 2}} \sum_{0 q s q n-2} {2s+3} =}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{2}(n - 1) - {\sqrt{2} \over {2n + 2}} {(n-1)(2n+2) \over 2 } = \sqrt{2}(n - 1) - {{\sqrt{2}(n-1)} \over 2} = {\sqrt{2}(n-1) \over 2}}\).
Wstawiamy policzoną sumę do równości (*) i otrzymujemy górne ograniczenie:
\(\displaystyle{ \sqrt{2} (n+1) - H_n+1 + 1 + \sqrt{2} \sum_{n+2 q s q 2n} \quad \sum_{1 q j,k q n; j+k = s} {1 \over s} \quad q \sqrt{2} (n+1) - H_n+1 + 1 + {{\sqrt{2}(n-1)} \over 2} = {{3 \sqrt{2} } \over 2 } n + (1 + {\sqrt{2} \over 2} - H_{n+1})}\).
Dla n = 1 i n = 2 łatwo sprawdzić, że wyjściowa nierówność jest spełniona, a dla większych n wyrażenie w nawiasie będzie ujemne, co oznacza, że dla każdego n będzie:
\(\displaystyle{ \sum_{1 q j,k q n} {1 \over {\sqrt{j^2 + k^2}}} q {{3 \sqrt{2}} \over 2 } n.}\)

na koncu postaw [/latex] zamiast [ ex]

Ale głupi błąd Już poprawiłam, dzięki.