Matematyka.pl

ad1: dokładnie trzy rozwiąznia w liczbach naturalnych, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą pierwszą i.... ad2: więcej niż trzy rozwiązania, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest liczbą złożoną.

Uwaga:
\(\displaystyle{ a b }\) \(\displaystyle{ x=a, y=b}\) \(\displaystyle{ \neq}\) \(\displaystyle{ x=b, y=a}\)
(*) \(\displaystyle{ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}}\)

Ad.1.

Po wymnożeniu dostajemy:
\(\displaystyle{ n(x+y)=xy}\) (1)
Załóżmy bez straty ogólności, że \(\displaystyle{ n|x}\), a więc \(\displaystyle{ x=nx_{1}}\). Podstawiamy do (1):
\(\displaystyle{ n(nx_{1}+y)=nx_{1}y}\)
\(\displaystyle{ nx_{1}+y=x_{1}y}\)
\(\displaystyle{ nx_{1}=y(x_{1}-1)}\) (2)
Rozpatrzmy dwa przypadki:
a) \(\displaystyle{ n|y}\)
Analogicznie piszemy \(\displaystyle{ y=ny_{1}}\) i przepisujemy (2):
\(\displaystyle{ nx_{1}=ny_{1}(x_{1}-1)}\)
\(\displaystyle{ x_{1}=y_{1}x_{1}-y_{1}}\), co rozwiązuje się trywialnie biorąć pod uwagę całkowitość x,y
b) \(\displaystyle{ n|(x_{1}-1)}\)
A więc \(\displaystyle{ x_{1}-1=nx_{2}}\), skąd:
\(\displaystyle{ n(nx_{2}+1)=ynx_{2}}\)
\(\displaystyle{ nx_{2}+1=yx_{2}}\)
\(\displaystyle{ 1=x_{2}(y-n)}\), co rozwiązuje się banalnie.