Matematyka.pl

Ma ktoś pomysł na te całki: \(\displaystyle{ \int \sqrt[3]{ \frac{x+1}{x-1} } \cdot \frac{dx}{x+1}}\) ,
\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{1-sin x}}\) ?
Proszę o szybką odpowiedź i z góry dziękuję

2. Przemnóż licznik i mianownik przez \(\displaystyle{ 1+\sin x}\) a otrzymasz:
\(\displaystyle{ \int \frac{1+\sin x}{\cos^2 x}\mbox{d}x=
\int \frac{\mbox{d}x}{\cos^2 x}+\int \frac{\sin x}{\cos^2 x}\mbox{d}x=\ldots}\)

Pozdrawiam.

1. \(\displaystyle{ { \frac{x+1}{x-1} } = t^3}\) wyznaczyć \(\displaystyle{ x}\) a potem \(\displaystyle{ dx}\) i pewnie jakiś rozkład na ułamki proste.
2. Można też zastosować podstawienie uniwersalne: \(\displaystyle{ \tg{\frac{x}{2}}}\)

\(\displaystyle{ \int e^{4x^{2}+5}}\) , \(\displaystyle{ \int \frac{4-3x}{cos^{2}x}}\)
Pomoże ktoś? Z góry dziękuję

pierwsza to całka nieelementarna
druga podstawienie \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{c}tgx=t\\\frac{dx}{cos^{2}x}=dt\\x=arctgt\end{array}\right|}\)

Pozdrawiam

fttrobin, Tę drugą to rozbić na sumę całek i przez części

W sumie to można od razu przez części bez rozbijania na sumę całek
i podstawienia to można użyć dopiero po scałkowaniu przez części

\(\displaystyle{ \int \frac{4-3x}{cos^{2}x} \mbox{d}x}\)

\(\displaystyle{ \int{ \frac{4}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }-3 \int{ \frac{x}{\cos^{2}{x}} \mbox{d}x }}\)

\(\displaystyle{ =4\tan{x}-3 \left( x\tan{x}-\int{\tan{x} \mbox{d}x }\right)}\)

\(\displaystyle{ =4\tan{x}-3 \left( x\tan{x}+\int{ \frac{-\sin{x}}{\cos{x}} \mbox{d}x }\right)}\)

\(\displaystyle{ =4\tan{x}-3x\tan{x}-3\ln{ \left| \cos{x}\right| }+C}\)

\(\displaystyle{ = \left(4-3x \right) \tan{x}-3\ln{ \left| \cos{x}\right| }+C}\)

z tym podstawieniem też da radę:

\(\displaystyle{ \int \frac{4-3x}{cos^{2}x}dx = \int (4 - 3arctgt)dt = 4t - 3\int arctgtdt = 4t - 3tarctgt + \frac{3}{2}\int \frac{2t}{1+t^{2}}dt = 4t - 3tarctgt + \frac{3}{2}ln(1+t^{2}) = 4tgx - 3xtgx + \frac{3}{2}ln(1+tg^{2}x)}\)

Pozdrawiam

Dziękuję bardzo

fttrobin, Te podstawienie jest trochę bez sensu ponieważ i tak całkujesz przez części

Proszę o pomoc w obliczeniu tej całki:\(\displaystyle{ \int sin(lnx)dx}\) Z góry dziękuję za pomoc

próbuj przez części:
\(\displaystyle{ u=sin(lnx) \ \ \ v'=dx}\)
\(\displaystyle{ u'=[sin(lnx)]' \ \ \ v=1}\)

Alternatywa:
\(\displaystyle{ \ln x=t \\ \frac{1}{x} dx=dt \Rightarrow dx=x \cdot dt}\)
Z pierwszej równości wynika, że:
\(\displaystyle{ x=e^t}\)
Czyli: \(\displaystyle{ dx=e^t dt}\)
Zatem:
\(\displaystyle{ \int sin(lnx)dx=\int \sin(t) \cdot e^t dt}\)

Dalej przez części itd.


Pozdrawiam.

Dzięki wielkie

Mógłby ktoś sypnąć pomysłem jak rozwiązać taką całeczkę: \(\displaystyle{ \int{ \frac{x+1}{(x+lnx)^{2}} }dx}\)? Z góry dziękuję

Wydaje się być nie elementarna.