Matematyka.pl

Mam problem z dowodem takiegoż wyrażenia:

\(\displaystyle{ A \times (B \cap C) = (A \times B) \cap (A \times C)}\)

Nic dziwnego, bo to nie musi być prawda...
Było: zbiory-teoria-mnogosci-f56/rownosc-zbiorow-t169227.html

Robię za archeologa, ale w linku było pytanie o równość \(\displaystyle{ A \cap (B\times C)=(A\times B)\cap(A\times C)}\), a to jednak trochę innego.

Niech \(\displaystyle{ A,B}\) i \(\displaystyle{ C}\) będą zbiorami.
Pokażemy, że: \(\displaystyle{ A \times \left( B \cap C\right)= \left( A \times B\right) \cap \left( A \times C\right). }\)
Oto ilustracja tego faktu: \(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
I oto:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ obydwa zbiory, po obu stronach równości, są zbiorami par, więc wykażemy, że dowolna para należy do jednego zbioru, wtedy i tylko wtedy, gdy należy do drugiego.
Weźmy zatem dowolną parę \(\displaystyle{ \left( x,y\right). }\)
Wtedy:

\(\displaystyle{ (x,y)\in A\times (B\cap C)\Leftrightarrow x\in A \wedge y\in (B\cap C)\Leftrightarrow x\in A\wedge (y\in B \wedge y\in C)\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow (x\in A\wedge y\in B) \wedge (x\in A\wedge y\in C)\Leftrightarrow (x,y)\in A\times B \wedge (x,y)\in A\times C\Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow(x,y)\in \left( A\times B\right) \cap \left( A\times C\right).}\)

A zatem, ponieważ obydwa zbiory, po obu stronach równości, są zbiorami par (więc innego rodzaju elementy nie należą do żadnego z tych dwóch zbiorów); a dla par, wykazaliśmy, że dowolna para należy do jednego zbioru, dokładnie wtedy, gdy należy do drugiego, a zatem te dwa zbiory mają takie same elementy, są więc równe\(\displaystyle{ .\square}\)

Jan Kraszewski pisze: ↑21 sty 2010, o 00:53 to nie musi być prawda...

Jak widać musi to być prawda- trzeba czytać uważniej polecenia.