Matematyka.pl

Chcemy udowodnić, że wszyscy ludzie są tego samego wzrostu. Przede wszystkim naszą tezę sformułujmy precyzyjniej:

"każdy skończony zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby tego samego wzrostu"

W dowodzie wykorzystamy indukcję po mocy (liczebności) zbioru. Początek indukcji jest oczywisty: faktycznie każdy jednoelementowy zbiór ludzi zawiera wyłącznie osoby (tzn. osobę!) jednakowego wzrostu. Tym samym wykazaliśmy tezę indukcyjną dla n=1 (przez n będziemy oznaczali moc zbioru). Teraz musimy wykonać krok indukcyjny. Nasze założenie indukcyjne ma następującą postać:

"każdy n-elementowy zbiór ludzi zawiera osoby o jednakowym wzroście"

Korzystając z założenia indukcyjnego trzeba udowodnić, że każdy n+1-elementowy zbiór ludzi zawiera osoby o jednakowym wzroście. Weźmy więc jakikolwiek n+1-elementowy zbiór ludzi A={o1, o2, ..., on+1}. Zbiór {o1, o2,... , on} jest n-elementowy, zatem - zgodnie z założeniem indukcyjnym - osoby o1, o2,... , on są tego samego wzrostu, podobnie zbiór {o2, o3,... , on, on+1} zawiera n elementów, a więc osoba on+1 ma taki sam wzrost jak osoby o2, o3,... , on, a co za tym idzie - taki sam jak osoba o1.

W sumie z zamknięciem tematu można było poczekać aż ktoś wskaże błąd w rozumowaniu.

Troszkę to mętne, ale błąd chyba tkwi w tym, że założenie indukcyjne jest jednocześnie tezą którą dowodzimy - należałoby założyć, że istnieje zbiór n-elementowy (...). Ale ja tam na zbiorach i teorii mnogości się nie znam więc nie wiem czy do końca dobrze myślę

[mod]Nie jest to lekka przesada odpisując w temacie, który jest zamknięty?
Chciałbym, żeby nieco się wyklarował kształt i przyszłość tego tematu.]
[bolo[/mod]

Nie w tym rzecz - od strony formalnej dowód, chociaż sprawia wrażenie mętnego, to wydaje się być poprawny.
Problem w tym, że tak naprawdę rozumowanie z ostatniego akapitu odbywa się przy 'cichym' założeniu, że zarówno n jak i n+1 są różne od 2 (sugeruje to zapis {o1, o2, ... on+1} i {o1,o2, ... on}). Dla zbioru dwuelementowego zupełnie nic z tego dowodu nie wynika, a jak dla dwójki indukcja nie działa to tym bardziej dla kolejnych liczb naturalnych...
BTW. W analogiczny sposób można wykazać, że:
"każde n prostych na płaszczyźnie przecina się w dokładnie jednym punkcie albo te proste są do siebie równoległe".

W powyższym "dowodzie" nie wykazano poprawnie przejścia od n=1 do n=2 - nie ma wówczas "pośredników", dzięki którym można wykazać, że osoba o1 jest tego samego wzrostu co on+1