Matematyka.pl

Dać możliwie prosty przykład ciągłej bijekcji \(\displaystyle{ f}\), t. ze \(\displaystyle{ f^{-1}}\)nie jest ciągłe

\(\displaystyle{ f\ :\ (-1,0)\cup(0,1]\,\to\,{\mathbb R}}\),
gdzie
\(\displaystyle{ f(x)\ =\ \frac{1}{x}-x}\)

Jeszcze prostszy przykład, to \(\displaystyle{ f \ : \ [-1, 0]\cup(1,2]\,\to\,[0,2]}\), a funkcja \(\displaystyle{ f(x) \ = \ |x|}\)

Ba, ale jeśli chcesz mieć \(\displaystyle{ f\,:\,{\mathcal X}\, \to \, {\mathcal X}}\), to albo funkcja, albo przestrzeń nie będzie już taka prosta...

Dla przykładu: \(\displaystyle{ {\mathcal X} = {\bigcup\limits_{n\in{\mathbb N}} }\,[2n,2n+1) = [0,1)\cup[2,3)\cup\ldots}\)

a funkcja

\(\displaystyle{ f(x) = \begin{cases}\frac{1}{2}x & x\in[0,1) \\ \frac{x-1}{2} & x\in[2,3)\\ x-2 & x\in[2n,2n+1), n\ge 2 \end{cases}}\)

tak sprytnie :
\(\displaystyle{ f: (\RR, d) \ni x \mapsto x \in (\RR, |\cdot|)}\)
gdzie d - dyskretna