Matematyka.pl

1) wykaż że 10| 17^5 + 24^4 - 13^21
2) wykaż że 57|3^15 - 1
proszę o małą pomoc

ad2
\(\displaystyle{ 3^{15}-1}\) nie dzieli sie przez 57=3*19

1)
Jakas liczba dzieli sie przez dziesiec, jesli jej ostatnia cyfra jest 0.
Interesuje nas tylko ostatnia cyfra
Mnozymy przez siebie tylko ostatnie cyfry, reszta nie ma wplywu na ostatnia cyfre naszej liczby.
Moj pomysl pokaze na przykladzie 17^5:
Zdefiniuje funkcje Ost(x) dla czytelnosci zapisu: Ost(x)-ostatnia cyfra x
Ost(17^5)=Ost(7^5)=Ost(14^2*7)=Ost(4^2*7)=Ost(16*7)=Ost(6*7)=Ost(42)=2
Z reszta powinienes sobie poradzic.
2)
57 jest podzielne przez 3, a to po prawej nie

Inny sposób rozwiązania pierwszego: trzeba wykazać. że \(\displaystyle{ 17^5+24^4-13^21 \equiv 0 od{10}}\)
1)
\(\displaystyle{ 17 \equiv -3 od{10}}\)
\(\displaystyle{ 17^5 \equiv -3^5 \equiv- 3 od{10}}\)
\(\displaystyle{ 17^5 \equiv -3 od{10}}\)

2)
\(\displaystyle{ 24 \equiv 4 od{10}}\)
\(\displaystyle{ 24^4 \equiv 4^4 \equiv 6\pmod{10}}\)

3)
\(\displaystyle{ 13 \equiv 3 od{10}}\)
\(\displaystyle{ 13^2 \equiv 3^2 \equiv -1 od{10}}\)
\(\displaystyle{ 13^{20} \equiv 1 od{10}}\)
\(\displaystyle{ -13^{21} \equiv -3 od{10}}\)

sumując ostatnie kongruencje kongruencje otrzymujemy \(\displaystyle{ 17^5+24^4-13^{21} \equiv -3 +6 -3 od{10}}\)

dzięki za odpowiedzi, dziwne że dali w zbiorze zadanie, którego się nie da rozwiązać...
kongurencje fajna sprawa,czas je opanować.