Matematyka.pl

Witam, mam kilka problemów z dwoma zadaniami z książki p. Pawłowskiego "Kółko matematyczne..."
Otóż:
1.

EDIT: Z tym zadaniem już wszystko wiem o co chodzi, konflikt oznaczeń, moje niedopatrzenie i głupota po prostu


Udowodnić, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y zachodzi nierówność:
\(\displaystyle{ [2x]+[2y] \ge [x]+[y]+[x+y]}\)
Rozwiązanie (z książki) przepiszę całe.
Rozważmy najpierw przypadek, gdy \(\displaystyle{ x,y in [0,1)}\)
Wówczas albo \(\displaystyle{ x+y<1}\) albo \(\displaystyle{ 1 \le x+y<2}\).
Jeśli \(\displaystyle{ x+y<1}\), to \(\displaystyle{ [x+y]=0}\) i oczywiście \(\displaystyle{ [2x]+[2y] \ge 0=[x]+[y]+[x+y]}\)
jeśli \(\displaystyle{ 1 \le x+y<2}\), to \(\displaystyle{ [x+y]=1}\)i wówczas
\(\displaystyle{ [2x]+[2y] \ge [2x]=1=[x]+[y}+[x+y]}\), gdyż co najmniej jedna z liczb x,y jest nie mniejsza niż 1/2.


Ok, ta część rozwiązania jest dla mnie zrozumiała, nie wiem tylko po co rozważaliśmy przypadek gdy \(\displaystyle{ x,y in [0,1)}\) bo w dalszej części rozwiązania wg mnie z tego nie korzystamy.


Niech \(\displaystyle{ x,y}\) będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi ( i tutaj już jest sprzeczność z tym, że rozpatrywaliśmy \(\displaystyle{ x,y in [0,1)}\) ) i \(\displaystyle{ x=[x]+ \alpha}\), \(\displaystyle{ y=[y]+ \beta}\), gdzie \(\displaystyle{ alpha, eta in [0,1)}\). Wówczas:
\(\displaystyle{ [2x]+[2y]=[2[x]+2\alpha]+[2[y]+2 \beta]=2[x]+2[y]+[2 \alpha]+ [2 \beta] \ge AAA \ge 2[x]+2[y]+[\alpha]+[\beta]+[\alpha+\beta]=[x]+[y]+ \left( [x]+[y]+[\alpha + \beta] \right) =[x]+[y]+[[x]+ \alpha +[y]+\beta]=[x]+[y]+[x+y]}\)

Nie wiem skąd się bierze nierówność po AAA, bo przecież jest to równoważne nierówności:
\(\displaystyle{ [\alpha]+[\beta] \ge [\alpha+\beta]}\) a ta nierówność zachodzi w drugą stronę.

Kolejny problem mam przy takim zadaniu:
2.
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n i dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi równość:
\(\displaystyle{ [x]+ \left[x+ \frac{1}{n} \right]+ \left[ x+ \frac{2}{n} \right]+...+ \left[ x+\frac{n-1}{n} \right] = \left[ nx] \right]}\)

no i moje wypociny:
\(\displaystyle{ x=[x]+\alpha}\)
\(\displaystyle{ L=[x]+[x]+ \left[\alpha+ \frac{1}{n} \right]+[x]+ \left[ \alpha+ \frac{2}{n} \right] +...+[x]+ \left[ \alpha+ \frac{n-1}{n} \right]=n[x]+ \left[ \alpha+ \frac{1}{n} \right] + \left[ \alpha+ \frac{2}{n} \right] + \left[ \alpha + \frac{3}{n} \right]+...+ \left[ \alpha+ \frac{n-2}{n} \right] + \left[ \alpha+ \frac{n-1}{n} \right]}\)
no i teraz coś próbowałem z przedziałami pokombinować
ale nie wychodzi, jakby ktoś mógł dokończyć, dać wskazówkę, ogólnie: pomóc, to będę wdzięczny

-- 17 sty 2010, o 16:34 --

Już chyba wiem co z tą nierównością.
dla części całkowitej \(\displaystyle{ [2a] \neq 2[a]}\)
w takim razie jaka nierówność została zastosowana i po co ten szczególny przypadek rozpatrywaliśmy?

-- 17 sty 2010, o 16:39 --

Aha, została wykorzystana nierówność udowodniona na początku, a ja myślałem, że to szczególny przypadek i stąd moja pomyłka... po prostu konflikt oznaczeń. z zadaniem 1 już wszystko wiem teraz zad. 2 zostało

w drugim rozważ liczbę naturalną k spełniającą:
\(\displaystyle{ \frac{k}{n} \le \{ x \} < \frac{k+1}{n}}\)

No właśnie tak próbowałem
rozważać po kolei \(\displaystyle{ alpha in [0, frac{1}{n})}\)
\(\displaystyle{ alpha in [ frac{1}{n}, frac{2}{n})}\)
.
.
.
\(\displaystyle{ alpha in [ frac{n-1}{n},1)}\)
I za bardzo nic nie widzę, jakaś większa podpowiedź? Czy może o coś innego Ci chodziło?

gdy obierzesz tę liczbę k, to wiesz dla jakich i liczba
\(\displaystyle{ \{x\}+ \frac{i}{n}}\) jest \(\displaystyle{ <1}\) (więc jej część całkowita jest równa 0)
a kiedy jest \(\displaystyle{ \ge 1}\)

aha oczywiście na początku warto uprościć sobie życie przez \(\displaystyle{ \lfloor x+ \frac{i}{n}\rfloor = \lfloor x\rfloor+ \lfloor \alpha+ \frac{i}{n}\rfloor}\)