Matematyka.pl

Hmm,... nierówność między średnią geometryczną i arytmetyczną dla n pierwiastków \(\displaystyle{ \sqrt[n]{x}}\) i dodatkowej 1 ?

czy n jest naturalne??

Tak n jest liczbą naturalną.Tak mi się wydaje. Zrób taki pewien zabieg:
\(\displaystyle{ nx^{\frac{1}{n+1}}+x^{\frac{1}{n+1}}{\leq}n(x)^{\frac{1}{n}}+1}\)

\(\displaystyle{ nx^{\frac{1}{n+1}}-n(x)^{\frac{1}{n}}{\leq}1-x^{\frac{1}{n+1}}}\)

\(\displaystyle{ n(x^{\frac{1}{n+1}}-(x)^{\frac{1}{n}}){\leq}1-x^{\frac{1}{n+1}}}\)

\(\displaystyle{ x^{\frac{1}{n+1}}-(x)^{\frac{1}{n}}{\langle}0}\)

\(\displaystyle{ 1-x^{\frac{1}{n+1}}{\rangle}0}\)
oczywiście przy założeniu, że x należy do zbioru od jeden do nieskończoności
z kolei x nie moze być mniejsze od zera.
Właściwie to wydaje mi się, że n≠0 chociaż mówi się, ze zero powinno należeć do zbioru liczb naturalnych.

Założenia są takie:
\(\displaystyle{ x>0, n \in N}\),

Sir George: brawo! choć można tez, bez SA \(\displaystyle{ \geq}\)SG...
Lady Tilly: Twój dowód jest ok, ale co gdy \(\displaystyle{ 1\geq x>0}\)

Można dowodzić w oparciu o Lemat:
\(\displaystyle{ (n+1)x^{n} \leq nx^{n+1} +1}\)
założenia jw.
Dowód lematu:
1. indukcja,
2. fakt:
\(\displaystyle{ (1-x)(x^{n+1}-1)\leq 0}\)

i.....
\(\displaystyle{ x:=\sqrt[n(n+1)]{x}}\)

No tak mój dowód rzeczywiście nie jest zupełny.

Choć to suchar, to jednak wart komentarza. Dla ustalonego \(\displaystyle{ 0<x\neq 1}\) funkcja jest ściśle rosnąca.
Dowód 1: funkcja \(\displaystyle{ h(a)=x^a}\) jest ściśle wypukła, więc jej iloraz różnicowy \(\displaystyle{ g(a,b)=\frac{x^a-x^b}{a-b}}\) rośnie względem obu zmiennych.

Dowód 2: \(\displaystyle{ f(a)=\int_1^x t^{a-1}dt}\)

Szukana nierówność to \(\displaystyle{ f\left(\frac{1}{n+1}\right)<f\left(\frac{1}{n}\right)}\)