Matematyka.pl

no to wyprowadź sobie wzór na \(\displaystyle{ x + 2x^2 + 3x^3 +...+nx^n}\), gdzie z jest zespolone, korzystaj z de`moivera (rozdzielając re i im). Przy okazji dostaniesz wzór na analogicznege wyrażenie sinusa.

[ Dodano: 14 Lipiec 2006, 19:07 ]
teraz mam taki pomysł: \(\displaystyle{ \sum^{n}_{k = 1}kcos(kx) = \sum^{n}_{k = 1}\frac{d}{dx}sin(kx) = \frac{d}{dx}\sum^{n}_{k = 1}sin(kx)}\)
a tą ostatnią sumę juz chyba obliczałeś

\(\displaystyle{ s=1+4x+9x^{2}+......n^{2}x^{n-1}}\)

Uwaga:
Mozna to zrobić podobnie, tj scałkować, ale .....
ja chciałbym elementarnie, Czy da sie..? !

Przez podobne zadanko mam tylko 4 z egzaminu z RRC
Zaczne od mometu:
\(\displaystyle{ \frac{d}{dx}\sum_{k=1}^{n}sin(kx)}\)
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}isin(kx)+\sum_{k=1}^{n}cos(kx)=\sum_{k=1}^{n}isin(kx)+cos(kx)=}\)
kozystam z faktu, ze \(\displaystyle{ isin(x)+cos(x)=e^{ix}}\) (Wzor Eulera)
\(\displaystyle{ =\sum_{k=1}^{n}e^{ixk}}\)
To jest szereg gemoetryczny, wiec sume znasz, pozniej nalezy jeszcze rozdzielic czesc rzeczywista i urojona (korzystasz ponownie ze wzoru Eulera i de Moivre'a). Z tego co bedzie pod urojona robisz pochodna i masz wynik.

można bez wzoru Eulera, chcociaż to trochę więcej wysiłku.

mol_ksiazkowy pisze:ja chciałbym elementarnie, Czy da sie..?

Mozolne to, ale się da...
1. \(\displaystyle{ 1+x+x^2+\ldots+x^n\ = \ \frac{1-x^{n+1}}{1-x}}\)

2. \(\displaystyle{ 1+2x+3x^2+\ldots+nx^{n-1} \ =}\)
\(\displaystyle{ \qquad \ = \ 1+x+x^2+\ldots+x^{n-1} \, + \, x+x^2+\ldots+x^{n-1} \, + \, \ldots \, + \, x^{n-2}+x^{n-1} \,+ \, x^{n-1}}\)
\(\displaystyle{ \qquad \ = \ \frac{1-x^{n}}{1-x} \, + \, \frac{x-x^{n}}{1-x} \, + \, \ldots \, + \, \frac{x^{n-1}-x^{n}}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \qquad \ = \ \frac{1+x+\ldots+x^{n-1} \, - \, nx^n}{1-x}}\)
\(\displaystyle{ \qquad \ = \ \frac{1-(n+1)x^n+nx^{n+1}}{(1-x)^2}}\)

3. Analogicznie rozpisujesz sumę \(\displaystyle{ 1+4x+9x^2+\ldots+n^2x^{n-1}}\)
korzystając z tego, że \(\displaystyle{ n^2\,=\,1+3+\ldots+(2n-1)}\)

a dokładniej z
\(\displaystyle{ 1+3x+5x^2+\, \ldots \, + (2n-1)x^{n-1} \ =}\)
\(\displaystyle{ \qquad \ = \ 2(1+2x+3x^2+\ldots+nx^{n-1} ) \, - \, (1+x+\ldots+x^{n-1} )}\)