Matematyka.pl

Czy zbiory \(\displaystyle{ [0,1]\times\mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ [0,1)\times\mathbb{R}}\) są homeomorficzne? Wydaje mi się że nie są ale nie potrafię tego pokazać. Jak z obu wyrzucimy wnętrze to w jednym zostanie zbiór spójny a w drugim nie, ale czy homeomorfizm przenosi wnętrze na wnętrze? Proszę o pomoc.

w jakim sensie wnętrze? pamiętaj że w podprzestrzeni zbiory otwarte wyglądają trochę inaczej...

Tak, wiem, chodziło mi o wnętrze tych zbiorów jako podzbiorów płaszczyzny

Z twierdzenia Brouwera o niezmienniczości obszaru wynika że faktycznie wnętrze musi przejść tu na wnętrze a to rozwiązuje problem zbiory nie są homeomorficzne

Ogólniej dokładnie w ten sam sposób można pokazać, że jeśli dwie rozmaitości topologiczne z brzegiem są homeomorficzne to ich brzegi również.