Zbadać zbieżność szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
=
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23
Rejestracja: 21 wrz 2005, o 12:16
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 1 raz

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: = » 11 lip 2006, o 19:54

Zapewne to jest bardzo proste ale ja nie kumam nic co jest napisane o tych szeregach, dla mnie to jakas abstrakacja... Czy moglby mi ktos je wyjsanic lopatologicznie na przykladzie tego zadania:

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n^{2}+3n-2}}\)

Wiem, ze mozna stosowac kryteria np. d'Alemberta albo Cauchy'ego - no i czy tez w tym przypadku powinienem uzyc jakiegos kryterium?

Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: Mbach » 11 lip 2006, o 22:39

d`Alembert oczywiście. Jak masz jakiś problem napisz jaki konkretnie, bo przykład raczej standardowy jest.

Awatar użytkownika
boo007
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 148
Rejestracja: 18 cze 2006, o 23:22
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: UWr
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 11 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: boo007 » 11 lip 2006, o 22:54

Po pierwsze musisz wiedziec cos o ciagach (zakladam ze wiesz, jak nie to pisz)
Po drugie zapoznaj sie z http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=4806 i http://pl.wikipedia.org/wiki/Szereg_%28matematyka%29 .
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n-1}{n^{2}+3n-2}}\)
\(\displaystyle{ a_{n}=\frac{4n-1}{n^{2}+3n-2}}\)

Sprawdzam kryterium d'Alamberta. Nalezy sprawdzic, czy
\(\displaystyle{ \lim _{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\lim _{n \to \infty}\frac{\frac{4n+3}{(n+1)^{2}+3n+1}}{\frac{4n-1}{n^{2}+3n-2}}}\)
(powinien tam byc modul , ale \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest dodatnio okreslony dla n naturalnego, wiec modul mozna opuscic)
Niestety ta granica jest rowna 1, wiec kryterium d'Alamderta nie rozstrzyga, czy szereg jest zbiezny (mialem to zmazac jak granica wyszla mi 1, ale mialo byc lopatologicznie wiec zostawiam).

Kryterium porownawcze:
I Jesli \(\displaystyle{ 0}\)
i
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest zbiezne, to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) tez jest zbiezne.

II Jesli \(\displaystyle{ b_{n}}\)
i
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}}\) jest rozbiezne, to \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}}\) tez jest rozbiezne.

Zauwazam , ze zachodzi nierownosc:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\)
Tego kryterium sie nie da inaczej stosowac (zgadywanie/szacowanie), chyba, ze sprawdzisz podstawiajac pod \(\displaystyle{ b_{n}}\) wszystkie szeregi rozbiezne\zbiezne (zalezy co chcesz udowodnic) jakie znasz i sprawdzac, czy spelniaja nierownosc, jak bedziesz duzo zadan robil to nabierzesz wyczucia w szacowaniu.
Ograniczylem szegeg od dolu przez szereg rozbiezny (\(\displaystyle{ \sum \frac{1}{n}}\) jest rozbiezny), wiec nasz szereg jest rozbiezny.

Jakby cos bylo niejasnego to pytaj

Mbach
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 327
Rejestracja: 3 lis 2004, o 16:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: braku inwencji
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 25 razy

Zbadać zbieżność szeregu

Post autor: Mbach » 11 lip 2006, o 23:10

\(\displaystyle{ \frac{4n-1}{n^{2}+3n-2}>\frac{n}{n^2+3n-2}>\frac{n}{n^2 + 3n} = \frac{1}{n+3}}\)

a szereg z tego ostatniego jest wyraźnie rozbieżny. P.S> tak mniej na czuja

Możesz wykorzystać kryterium ilorazowe, czyli porównać szereg z szeregiem \(\displaystyle{ \sum^{\infty}_{n = 1}\frac{1}{n}}\). Gdy granica stosunku wyrazów obu szeregów jest należy do (0, infty) to szeregi są tej samej zbieżności \(\displaystyle{ \frac{4n-1}{n^{2}+3n-2} : \frac{1}{n} \to 4}\) czyli badany jest rozbieżny

Jak chcesz to na chama można z kryterium Maclaurina - całkoego, ale to raczej brudna robota. Jak nie chcesz z porównawczego, to Rabbego kryterium da Ci odpowiedż. Musisz obliczyć granice \(\displaystyle{ n(\frac{4n-1}{n^{2}+3n-2} : \frac{4(n+1)-1}{(n+1)^{2}+3(n+1)-2}-1)}\) jeśli jest większa od 1 toi szereg zbieżny, mniejsza od 1 to rozbieżny. Więc have fun

Po sprawdzeniu: k. Raabego nic nie daje, granica ta wynosi 1. Kryteria porównawczesą tutaj najstosowniejsze

ODPOWIEDZ