Matematyka.pl

1. Wykaż indukcyjnie, że :
\(\displaystyle{ 2^{n} \ge n^{2}}\) dla \(\displaystyle{ n \ge 5}\)

2. Pokaż przez indukcję, że dla każdej formuły zbudowanej ze zmiennych zdaniowych oraz spójników \(\displaystyle{ \vee \wedge \Rightarrow \neg}\) liczba wystąpień zmiennych jest o 1 większa od liczby wystąpień binarnych spójników zdaniowych.

3. Pokaż przez indukcję, że każda formuła zdaniowa zbudowana ze zmiennych zdaniowych i spójników \(\displaystyle{ \vee \wedge}\) jest spełnialna.

a ) no to krok pierwszy jest oczywisty sprawdzamy czy dla 5 się zgadza.
potem :
założenie \(\displaystyle{ 2 ^{n} \ge n ^{2}}\)
teza: \(\displaystyle{ 2 ^{n+1} \ge (n+1) ^{2}}\)
\(\displaystyle{ 2*2 ^{n} \ge n ^{2}+2n+1}\)
\(\displaystyle{ 2*n ^{2} \ge n ^{2}+2n+1}\)
\(\displaystyle{ n ^{2} \ge 2n+1}\)
teraz wykorzystując jakieś tam prawo ( nie pamiętam czyje ... ;D )
\(\displaystyle{ \frac{n ^{2} }{2n+1} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{(n+2) ^{2}-(n+1) ^{2} }{2*(n+2)+1-2*(n+1)} \ge 1}\)
\(\displaystyle{ \frac{2n-3}{3} \ge 1}\)
zauważmy że licznik dąży do nieskoczoności a mianownik jest liczbą stałą więc nierówność na pewno jest spełniona
mam nadzieję, że sie nie pomyliłem gdzieś
pzdr

ja mam pytanie
bo było cos takiego:
\(\displaystyle{ 2*2 ^{n} \ge n ^{2}+2n+1}\)

to czemu sie zrobilo:

\(\displaystyle{ 2*n ^{2} \ge n ^{2}+2n+1}\)

?

\(\displaystyle{ 2^{n+1}=2 \cdot 2^n \ge zal. \ge 2 \cdot n^2 \ge n^2+2n+1}\)
Ostatnia nieróność:
\(\displaystyle{ 2n^2 \ge n^2+2n+1}\)
jest równoważna:
\(\displaystyle{ (n-1)^2-2 \ge 0}\)
co zachodzi w danym przedziale.