Matematyka.pl

Mam drobne podstawowe pytanie, a właściwie pytanko: czy
\(\displaystyle{ \neg \left(a \le b \right) = \left(a \ge b \right)
czy \neg \left(a \le b \right) = a>b}\)

To drugie. Negujesz zdanie "a jest mniejsze lub równe b", czyli musi powstać zdanie "a jest większe i nierówne b".

dziękuję

\(\displaystyle{ \neg \left(a \le b \right) = a>b}\)

Czemu?

\(\displaystyle{ (a \le b) \Leftrightarrow (a<b \vee a=b)}\)

Jak sobie temu zaprzeczymy, to dostaniemy:

\(\displaystyle{ \neg (a<b \vee a=b) \Rightarrow ( \neg (a<b) \wedge \neg (a=b)) \Rightarrow (a \ge b \wedge a \neq b) \Rightarrow a>b}\)

Oczywiście wyłącznie pod warunkiem, że symbol \(\displaystyle{ \le}\) oznacza np. porządek na liczbach rzeczywistych. W ogólnej sytuacji częściowych porządków powyższe nie jest prawdą.

JK

cocco, na pewno nie powinnaś pisać o równości. nie będę wnikać w szczegóły, ale raczej unikaj znaku równości pomiędzy zdaniami i tym podobnymi. one nie są sobie równe, przecież brzmią inaczej. oznaczają to samo, ale nie są równe - użycie w tym miejscu znaku równości to błąd, nie wiem co to za zadanie, ale jeśli jest punktowane, to za taki zapis stracisz punkty.

ymar pisze:cocco, na pewno nie powinnaś pisać o równości. nie będę wnikać w szczegóły, ale raczej unikaj znaku równości pomiędzy zdaniami i tym podobnymi. one nie są sobie równe, przecież brzmią inaczej. oznaczają to samo, ale nie są równe - użycie w tym miejscu znaku równości to błąd, nie wiem co to za zadanie, ale jeśli jest punktowane, to za taki zapis stracisz punkty.

wiem o tym, ale nie mogłam znaleźć strzałki

Jan Kraszewski pisze:Oczywiście wyłącznie pod warunkiem, że symbol \(\displaystyle{ \le}\) oznacza np. porządek na liczbach rzeczywistych. W ogólnej sytuacji częściowych porządków powyższe nie jest prawdą.

JK

a jak jest w przypadku częściowych porządków? pytam z ciekawości, bo zadanie akurat tego nie dotyczy.

\(\displaystyle{ \neg(a\le b) \Leftrightarrow (a>b\lor a \mbox{ i }b\mbox{ są nieporównywalne})}\)

JK

Bieniol pisze:\(\displaystyle{ \neg \left(a \le b \right) = a>b}\)

Czemu?

\(\displaystyle{ (a \le b) \Leftrightarrow (a<b \vee a=b)}\)

Jak sobie temu zaprzeczymy, to dostaniemy:

\(\displaystyle{ \neg (a<b \vee a=b) \Rightarrow ( \red \neg (a<b) \black \wedge \neg (a=b)) \Rightarrow ( \red a \ge b \black \wedge a \neq b) \Rightarrow a>b}\)

Czy to nie jest korzystanie z tezy?

Dasio11 pisze:Czy to nie jest korzystanie z tezy?

Jest. Ten "dowód" jest do niczego (przyznam się, że nie popatrzyłem na niego wcześniej...).
Poprawny dowód polega na skorzystaniu z liniowości porządku.

JK