Matematyka.pl

Między dwiema kolejnymi liczbami całkowitymi znajduje się liczba niewymierna. Wydaje się to dla mnie oczywiste, ale jak to udowodnić?

Nie wiem jak bardzo zaawansowane musi byc uzasadnienie. Czy można się posługiwać liczbami wymiernymi, czy ich istnienie trzeba dopiero uzasadnić?

Najprościej można podać tak:

skoro \(\displaystyle{ 0 < \sqrt{2} -1 < 1}\) to dodając trójstronnie dowolną liczbę całkowitą (k) otrzymamy:

\(\displaystyle{ k < k + \sqrt{2} -1 < k+1}\) czyli zawsze "wygenerujemy" taką liczbę niewymierną

Sposób udowodnienia jest dowolny, może być nawet zaawansowany. Ale dziękuję bardzo za pomoc.

Może po prostu wystarczy napisać, że zbiór liczb niewymiernych jest gęsty, a liczb całkowitych nie?

Możesz też użyć Indukcji Matematycznej.