Matematyka.pl

Witam, mam za zadanie wyznaczyc automorfizmy pierscienia wielomianow P[x], gdzie P jest pierscieniem calkowitym (przemiennym, z 1 rozna od 0). Nie wiem jak sie za to zabrac. Probowalem rozpatrywac bardziej konkretny przyklad, tj Z[x], ale tez nie za bardzo wiem jakiej metody uzyc w szukaniu bijektywnych odwzorowan zachowywujacych dzialania. Prosilbym o jakies wskazowki jak to ugryzc.

142791.htm

lemat rozgrzewkowy

pozdrawiam

Dokładniej, to ten lemat wyznacza wszystkie automorfizmy \(\displaystyle{ P[X]}\) które są identycznością na \(\displaystyle{ P.}\)
Aby uzyskać pełen opis automorfizmów \(\displaystyle{ P[X]}\) należy zauważyć, że każdy automorfizm pierścienia \(\displaystyle{ P[X]}\) zawężony do \(\displaystyle{ P}\) jest automorfizmem \(\displaystyle{ P}\) oraz, że dla ustalonego automorfizmu \(\displaystyle{ \varphi}\) pierścienia \(\displaystyle{ P}\) rodzina automorfizmów pierścienia \(\displaystyle{ P[X],}\) które zawężone do \(\displaystyle{ P}\) są równe \(\displaystyle{ \varphi}\) opisuje się analogicznie jak w lemacie (tam mamy szczególny przypadek \(\displaystyle{ \varphi = \text{id}_{P}}\)).

Czyli jak by to wygladalo w Z[x]?

\(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) ma tylko jeden automorfizm - identyczność, więc sytuacja jest taka jak w lemacie.

Jak pokazac, ze jedynym automorfizmem w Z jest identycznosc?