Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Od funkcji homograficznych do bardziej skomplikowanych ilorazów wielomianów. Własności. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Anja
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 25 paź 2004, o 05:43
Lokalizacja: Berlin

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Anja » 25 paź 2004, o 05:55

Ja probowalam, ale nie wychodzi .

\(\displaystyle{ f\left(x\right)=\frac{x^4 - 2}{x^3 +x}}\)
Prosze o pomoc i z gory dziekuje

Yavien
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 800
Rejestracja: 21 cze 2004, o 22:20
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: W-U

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Yavien » 25 paź 2004, o 11:45

Czy to funkcja rzeczywista, czy zespolona?
Dla rzeczywistych robimy tak:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{x^4 - 2}{x^3 +x}}\)
Najpierw wylacz calosci, zeby stopien licznika byl nizszy niz mianownika:
\(\displaystyle{ x^4 - 2 = x(x^3 + x) - x^2 - 2}\)
\(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{x^2 + 2}{x^3 + x}}\)
rozloz mianownik na czynniki nie rozkladalne:
\(\displaystyle{ x^3 + x = x(x^2 + 1)}\)

I teraz szukamy takich liczb A, B, C, zeby
\(\displaystyle{ \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 + 1} = \frac{x^2 + 2}{x(x^2 + 1)}}\)
sprowadzenie do wspolnego mianownika lewej strony i porownanie wspolczynnikow daje nam:
A = 2, B = -1, C = 0
zatem
\(\displaystyle{ f(x) = x - \frac{2}{x} + \frac{x}{x^2 + 1}}\)

W przypadku zespolonym robi sie podobnie, tyle, ze wielomian x^2 + 1 bedzie rozkladalny, ale metoda z porownaniem wspolczynnikow tez zadziala.

Artrois
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 21 paź 2008, o 16:41
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Artrois » 21 paź 2008, o 17:15

A jak to samo rozpisać dla \(\displaystyle{ \frac{4}{x^3+4x}}\).

Tux
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 230
Rejestracja: 27 cze 2008, o 14:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: kto to wie?
Podziękował: 52 razy
Pomógł: 2 razy

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Tux » 21 paź 2008, o 19:03

x przed nawias

Velarian
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 30
Rejestracja: 11 gru 2015, o 11:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Siedlce
Podziękował: 14 razy

Rozkładanie funkcji wymiernej na ułamki proste.

Post autor: Velarian » 17 lut 2016, o 15:16

Czyli w moim przypadku jak mam takie coś to rozkładam to tak:
\(\displaystyle{ \frac{1}{(x-2)^{2}(x+2) } = \frac{A}{x+2} + \frac{B}{x-2} + \frac{C}{(x-2)^{2} }}\)
zgadza się?

ODPOWIEDZ