Kryterium ilorazowe całek niewłaściwych

[Ewela_is_krieg]

To jest zapewne proste, po świętach jednak nie mogę przypomieć sobie jak to się liczyło.

Zbadać zbieżność całek, korzystając z kryterium ilorazowego:
\(\displaystyle{ \int_{\infty}^{5} \frac{xdx}{\sqrt{x^{5}-3}}}\)
\(\displaystyle{ \int_{\infty}^{1} sin^{2}\frac{1}{x} dx}\)

Pomoże ktoś?

[BettyBoo]

Chodzi o kryterium porównawcze w wersji granicznej.

Pierwszą całkę porównujesz z \(\displaystyle{ \int_{\infty}^{5} \frac{xdx}{\sqrt{x^{5}}}=\int_{\infty}^{5} \frac{dx}{x^\frac{3}{2}}}\), bo \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x}{\sqrt{x^{5}-3}}}{\frac{1}{x^\frac{3}{2}}}=1}\).

Drugą porównujesz z \(\displaystyle{ \int_{\infty}^{1} \frac{1}{x^2} dx}\), bo \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty}\frac{sin^{2}\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}}=1}\).

Obie są zbieżne, więc wyjściowe całki również są zbieżne.

Pozdrawiam.

[Ewela_is_krieg]

A taką jak policzyć?
\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{ \frac{\pi}{2}} \frac{dx}{ \sqrt[3]{cos x} }}\)
Wiem tylko, że jest to całka niewlasciwa drugiego rodzaju. Probowalam policzyc z kryterium ilorazowego z \(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} }}\), nie wyszło.

[BettyBoo]

Dla cosinusa to nie działa

Po pierwsze, trzeba zrobić przekształcenie

\(\displaystyle{ \int_{\pi}^{ \frac{\pi}{2}} \frac{dx}{ \sqrt[3]{cos x} }=\int^{\pi}_{ \frac{\pi}{2}} \frac{dx}{ \sqrt[3]{-cos x} }}\)

aby zapewnić całkę z funkcji dodatniej.

Po drugie,

\(\displaystyle{ -cosx=-sin(\frac{\pi}{2}-x)=sin(x-\frac{\pi}{2})}\)

więc swoją całkę porównujesz z całką

\(\displaystyle{ \int^{\pi}_{ \frac{\pi}{2}} \frac{dx}{ \sqrt[3]{x-\frac{\pi}{2}} }}\)

Pozdrawiam.