Matematyka.pl

5.Przedstaw dane wyrażenie w postaci iloczynu wiedząc że \(\displaystyle{ \alpha + \beta + \gamma = \pi}\)

\(\displaystyle{ \sin\alpha + \sin\beta - \sin\gamma}\)

Przepraszam za brak Latex, ale musze pilnie wyjść i tak na szybko pisałem, zadanie prose w zapisie więc każdy powienien zrozumieć. Z góry dziękuje.

Nie chce mi się wpisywać kątów, weźmy sobie a,b,c
\(\displaystyle{ sina+sinb-sinc=2sin (\frac{a+b}{2})cos(( \frac{a-b}{2})-sinc}\)
Skorzystam z faktu, że \(\displaystyle{ c=\pi-(a+b)}\), oraz z sin(-a)=-sina
Mamy dalej
\(\displaystyle{ 2sin (\frac{a+b}{2})cos( \frac{a-b}{2})-sin(\pi-(a+b))=2sin (\frac{a+b}{2})cos( \frac{a-b}{2})-sin(a+b)}\)
\(\displaystyle{ sin(a+b)=2sin( \frac{a+b}{2})cos( \frac{a+b}{2})}\), wstawiamy:
\(\displaystyle{ 2sin (\frac{a+b}{2})cos( \frac{a-b}{2})-sin(a+b)=2sin (\frac{a+b}{2})(cos( \frac{a-b}{2})-cos( \frac{a+b}{2}))=-4sin( \frac{a+b}{2})sin\frac{a}{4}sin\frac{-b}{4}=4sin( \frac{a+b}{2})sin \frac{a}{4}sin\frac{b}{4}}\)
No i jest