Pole równoległoboków
: 6 sty 2010, o 19:56
W równoległoboku ABCD połączono kolejne środki boków i otrzymano czworokąt EFGH. Jaką część równoległoboku ABCD stanowi pole równoległoboku EFGH? Odpowiedź uzasadnij.
Warto sporządzić stosowny rysunek sytuacji przedstawionej w zadaniu. Łącząc środki dwóch kolejnych boków równoległoboku odcinamy z niego trójkąt. Zauważmy, że taki sam (przystający) trójkąt zostanie odcięty z tego równoległoboku odcinkiem łączącym środki dwóch pozostałych boków.
W sumie z całego równoległoboku odcinamy dwie pary trójkątów przystających. Każda para po odpowiednim sklejeniu utworzy równoległobok (mniejszy od danego).
Niech teraz \(\displaystyle{ a,b,\alpha}\) oznaczają długości dwóch nierównoległych boków równoległoboku oraz miarę kąta zawartego między nimi.
Wówczas wobec powyższych spostrzeżeń i wzoru na pole równoległoboku dostajemy, że szukany stosunek wynosi \(\displaystyle{ \frac{ab\sin\alpha-2\cdot\frac{a}{2}\cdot\frac{b}{2}\sin\alpha}{ab\sin\alpha}=\frac{1}{2}}\).