Matematyka.pl

\(\displaystyle{ \int_{0}^{+ \infty } x e^{-2x} dx}\)


oraz


\(\displaystyle{ \int_{0}^{ \frac{\pi}{3} } x sin3x dx}\)

\(\displaystyle{ u=x \ \rightarrow u'=1 \\
v'=e^{-2x} \ \rightarrow v=\frac{e^{-2x}}{-2} \\
\int xe^{-2x} dx = \frac{xe^{-2x}}{-2} - \int \frac{e^{-2x}}{-2} dx = \frac{xe^{-2x}}{-2} - \frac{e^{-2x}}{4}}\)
Wstaw, policz granice jak trzeba i gotowe.
Co do dodatku - to chyba nie ten post, nie mieszaj tematów.

no wlasnie jak wstawie później +niesk. do \(\displaystyle{ \frac {-2x-1}{4}}\) to nie wiem co z tym zrobić

\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{+\infty} x e^{-2x} dx = \left[ \frac{xe^{-2x}}{-2} - \frac{e^{-2x}}{4} \right]_0^{+\infty} = \lim\limits_{x \to +\infty} - \frac{e^{-2x}(2x+1)}{4} + \frac{1}{4}}\)
Granicę możesz policzyć (po przeniesieniu \(\displaystyle{ e^{-2x}}\) do mianownika) z de l'Hospitala.