Granica funkcji z sumą (sprawdzenie)
: 5 sty 2010, o 18:49
Znalezc granice:
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \frac{ ( \sum_{k=1}^{n} x^k )-n}{x-1}}\).
Zrobilem takie przejscia:
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \frac{ \sum_{k=1}^{n} (x^k -1 )}{x-1}}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \sum_{k=1}^{n} \frac{ x^k -1 }{x-1}}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } 1+ (1+x)+(1+x+x^2)+...+(1+x+...+x^{n-1})}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^2+n}{2}}\)
I wychodziloby na to ze nie potrzeba rozpatrywac granic lewo- i prawostronnych? Czy to jest dobrze policzone?
\(\displaystyle{ \lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \frac{ ( \sum_{k=1}^{n} x^k )-n}{x-1}}\).
Zrobilem takie przejscia:
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \frac{ \sum_{k=1}^{n} (x^k -1 )}{x-1}}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } \sum_{k=1}^{n} \frac{ x^k -1 }{x-1}}\)
\(\displaystyle{ =\lim_{ x \to 1 ^{\pm} } 1+ (1+x)+(1+x+x^2)+...+(1+x+...+x^{n-1})}\)
\(\displaystyle{ = \sum_{k=1}^{n} k = \frac{n^2+n}{2}}\)
I wychodziloby na to ze nie potrzeba rozpatrywac granic lewo- i prawostronnych? Czy to jest dobrze policzone?